Descripción
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Descripción:
Esta obra representa un aporte al desarrollo del pensamiento lógico y algorítmico del estudiante
y viene a coronar el estudio del cálculo diferencial, integral y vectorial con una de las ramas
más fascinantes y abstractas de las matemáticas: el álgebra lineal. En ella se estudian los conceptos
que sirven de base para el estudio de cursos más avanzados de matemáticas como las
ecuaciones diferenciales. En este curso se inicia con un repaso breve de los números complejos,
para entrar de lleno con el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, las matrices y los determinantes,
los formidables espacios vectoriales y las transformaciones lineales. Por la importancia
del tema en materias posteriores y porque para algunos docentes no puede pasar desapercibido
se incluye como un apéndice la sección valores característicos, vectores característicos y
formas canónicas. Lo anterior permite el estudio de conceptos básicos pero esenciales para sustentar
cualquier área de la ingeniería, lo que contribuye
a desarrollar en el estudiante un pensamiento
formal y heurístico que le permitirá modelar fenómenos y resolver problemas.
Tabla de contenidos:
Front Matter
Prefacio
Para el instructor
Filosofía
Características de esta obra
Características y secciones
Para el estudiante
Prólogo
Las competencias y el álgebra lineal
Competencias previas de la asignatura
Competencia específica de la asignatura
Competencias específicas por unidad
Agradecimientos
Evaluación diagnóstica
Cálculo diferencial
Cálculo integral
Cálculo de varias variables
Unidad 1: NÚMEROS COMPLEJOS
Competencia específica
Competencias genéricas
1.1: Introducción
EJEMPLO 1: Raíces de la ecuación cuadrática
Solución
Definición 1
EJEMPLO 2: Partes real e imaginaria de un complejo
EJEMPLO 3: Operaciones con números en forma rectangular
Solución
FIGURA 1.1: Doce puntos en el plano complejo.
FIGURA 1.2: z¯ se obtiene reflejando z respecto al eje x.
EJEMPLO 4: Conjugado de un complejo
Solución
FIGURA 1.3: Si z = a + ib, entonces a = r cos θ y b = r sen θ.
FIGURA 1.4: Arg z¯ = −arg z.
EJEMPLO 5: División de dos complejos y recíproco de un complejo
Solución
EJEMPLO 6: Forma polar de un complejo
Solución
EJEMPLO 7: Forma rectangular de un complejo en forma polar
Solución
EJEMPLO 8: Operaciones de complejos en forma polar
Solución
Teorema 1: Identidad de Euler
EJEMPLO 9: Complejos en forma exponencial
Solución
FIGURA 1.5: Seis puntos en el plano complejo.
EJEMPLO 10: De la forma exponencial a la forma cartesiana
Solución
Teorema 2: De Moivre
EJEMPLO 11: Potencia de un complejo
Solución
EJEMPLO 12: Operaciones con complejos en forma exponencial
Solución
Teorema 3: Raíces n-ésimas de un complejo
EJEMPLO 13: Raíces n-ésimas
Solución
EJEMPLO 14: Integración y derivación compleja
Solución
EJEMPLO 15: Integración compleja
Solución
1.1: Desarrollo de competencias
Unidad 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Competencia específica
Competencias genéricas
2.1: Introducción
2.2: Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
EJEMPLO 1: Sistema con una solución única
EJEMPLO 2: Sistema con un número infinito de soluciones
EJEMPLO 3: Sistema sin solución
FIGURA 2.1: Dos rectas se intersecan en un punto, en ninguno o (si coinciden) en un número infinito de puntos.
Teorema 1: Teorema de resumen
AUTOEVALUACIÓN
2.2: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
2.3: m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
EJEMPLO 1: Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: solución única
Solución
Operaciones elementales con renglones
EJEMPLO 2: Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: número infinito de soluciones
Solución
EJEMPLO 3: Sistema inconsistente
Solución
Definición 1: Sistemas inconsistentes y consistentes
Definición 2: Forma escalonada reducida por renglones y pivote
EJEMPLO 4: Cinco matrices en la forma escalonada reducida por renglones
Definición 3: Forma escalonada por renglones
EJEMPLO 5: Cinco matrices en la forma escalonada por renglones
EJEMPLO 6: Solución de un sistema mediante eliminación gaussiana
Solución
EJEMPLO 7: Solución de un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas
Solución
EJEMPLO 8: Un problema de administración de recursos
Solución
EJEMPLO 9: El modelo de insumo-producto de Leontief
EJEMPLO 10: El modelo de Leontief aplicado a un sistema económico con tres industrias
Solución
FIGURA 2.2: Los tres planos se intersecan en un solo punto.
FIGURA 2.3: Los tres planos se intersecan en la misma recta.
FIGURA 2.4: Dos planos se intersecan en una recta.
FIGURA 2.5: Los planos paralelos no tienen puntos en común.
FIGURA 2.6: El plano 3 es paralelo a L, la recta de intersección de los planos 1 y 2.
Nota biográfica
AUTOEVALUACIÓN
2.3: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
Uso de las TIC
2.4: Sistemas homogéneos de ecuaciones
EJEMPLO 1: Sistema homogéneo que tiene únicamente la solución trivial
Solución
EJEMPLO 2: Un sistema homogéneo con un número infinito de soluciones
Solución
EJEMPLO 3: Un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene un número infinito de soluciones
Solución
Teorema 1
AUTOEVALUACIÓN
2.4: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
Uso de las TIC
Resumen
Competencia final de la unidad 2
Unidad 3: MATRICES Y DETERMINANTES
Competencia específica
Competencias genéricas
3.1: Vectores y matrices
Definición 1: Vector renglón de n componentes
Definición 2: Vector columna de n componentes
EJEMPLO 1: Cuatro vectores
El espacio símbolo ℝn
Definición 3: Matriz
EJEMPLO 2: Cinco matrices
EJEMPLO 3: Localización de las componentes de una matriz
Solución
Definición 4: Igualdad de matrices
EJEMPLO 4: Matrices iguales y matrices distintas
Solución
Los vectores son matrices de un renglón o de una columna
Definición 5: Suma de matrices
EJEMPLO 5: Suma de dos matrices
Definición 6: Multiplicación de una matriz por un escalar
EJEMPLO 6: Múltiplos escalares de matrices
EJEMPLO 7: Suma de múltiplos escalares de dos vectores
Solución
Teorema 1
EJEMPLO 8: Ilustración de la ley asociativa para la suma de matrices
AUTOEVALUACIÓN
Nota biográfica
3.1: Desarrollo de competencias
FIGURA 3.1
FIGURA 3.2
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
Uso de las TIC
3.2: Productos vectorial y matricial
EJEMPLO 1: Producto de un vector de demanda y un vector de precios
Solución
Definición 1: Producto escalar
Producto escalar
EJEMPLO 2: Producto escalar de dos vectores
Solución
EJEMPLO 3: Producto escalar de dos vectores
Solución
Teorema 1
Definición 2: Producto de dos matrices
EJEMPLO 4: Producto de dos matrices de 2 × 2
Solución
EJEMPLO 5: El producto de una matriz de 2 × 3 y una de 3 × 4 está definido pero el producto de una matriz 3 × 4 y una de 2 × 3 no lo está
Solución
EJEMPLO 6: Contacto directo e indirecto con una enfermedad contagiosa
Teorema 2: Ley asociativa para la multiplicación de matrices
Teorema 3: Leyes distributivas para la multiplicación de matrices
EJEMPLO 7: Cómo escribir las columnas de AB como combinación lineal de las columnas de A
EJEMPLO 8: Multiplicación por bloques
EJEMPLO 9: Dos matrices que son conmutativas
Solución
EJEMPLO 10: Interpretación de la notación de sumatoria
Solución
EJEMPLO 11: Interpretación de la notación de sumatoria
Solución
EJEMPLO 12: Interpretación de la notación de sumatoria
Solución
EJEMPLO 13: Cómo escribir una suma usando la notación de sumatoria
Solución
EJEMPLO 14: Cómo escribir el producto escalar haciendo uso de la notación de sumatoria
Solución
Hechos sobre la notación de sumatoria
Nota biográfica: Arthur Cayley y el álgebra de matrices
AUTOEVALUACIÓN
3.2: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
Uso de las TIC
3.3: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
EJEMPLO 1: Cómo escribir un sistema mediante su representación matricial
Teorema 1
EJEMPLO 2: Cómo escribir un número infinito de soluciones como una solución particular a un sistema no homogéneo más las soluciones al sistema homogéneo
Solución
AUTOEVALUACIÓN
3.3: Desarrollo de competencias
RESPUESTA A LA AUTOEVALUACIÓN
3.4: Inversa de una matriz cuadrada
Definición 1: Matriz identidad
EJEMPLO 1: Dos matrices identidad
Teorema 1: Sea A una matriz cuadrada de n × n. Entonces
Definición 2: La inversa de una matriz
Teorema 2
Teorema 3
EJEMPLO 2: Cálculo de la inversa de una matriz de 2 × 2
Solución
EJEMPLO 3: Una matriz de 2 × 2 que no es invertible
Solución
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Teorema 4
EJEMPLO 4: Cálculo de la inversa de una matriz de 2 × 2
Solución
EJEMPLO 5: Una matriz de 2 × 2 que no es invertible
Solución
EJEMPLO 6: Cálculo de la inversa de una matriz de 3 × 3
Solución
EJEMPLO 7: Una matriz de 3 × 3 que no es invertible
Solución
Definición 3: Matrices equivalentes por renglones
Teorema 5
EJEMPLO 8: Uso de la inversa de una matriz para resolver un sistema de ecuaciones
Solución
EJEMPLO 9: La tecnología y las matrices de Leontief: modelo de la economía estadounidense en 1958
TABLA 3.1
TABLA 3.2: Demandas internas en 1958 en la economía de Estados Unidos
TABLA 3.3: Demandas externas sobre la economía de Estados Unidos en 1958 (en millones de dólares)
Teorema 6: Teorema de resumen
Teorema 7
AUTOEVALUACIÓN
3.4: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
Uso de las TIC
3.5: Transpuesta de una matriz
Definición 1: Transpuesta
EJEMPLO 1: Obtención de las transpuestas de tres matrices
Solución
Teorema 1
Definición 2: Matriz simétrica
EJEMPLO 2: Cuatro matrices simétricas
AUTOEVALUACIÓN
3.5: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
Uso de las TIC
3.6: Matrices elementales y matrices inversas
Definición 1: Matriz elemental
EJEMPLO 1: Tres matrices elementales
Teorema 1
EJEMPLO 2: Operaciones elementales mediante la multiplicación por matrices elementales
Solución
TABLA 3.4
Teorema 2
Teorema 3
EJEMPLO 3: Cómo escribir una matriz invertible como el producto de matrices elementales
Solución
Teorema 4: Teorema de resumen
Definición 2: Matriz triangular superior y matriz triangular inferior
EJEMPLO 4: Dos matrices triangulares superiores y dos matrices triangulares inferiores
Teorema 5
EJEMPLO 5: Cómo escribir una matriz como el producto de matrices elementales y una matriz triangular superior
Solución
AUTOEVALUACIÓN
3.6: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
3.7: Determinantes
Definición 1
Definición 2: Determinante de 3 × 3
EJEMPLO 1: Cálculo de un determinante de 3 × 3
Solución
EJEMPLO 2: Cálculo de un determinante de 3 × 3
Solución
EJEMPLO 3: Cálculo de un determinante de 3 × 3 usando el nuevo método
Solución
Definición 3: Menor
EJEMPLO 4: Cálculo de dos menores de una matriz de 3 × 3
Solución
EJEMPLO 5: Cálculo de dos menores de una matriz de 4 × 4
Solución
Definición 4: Cofactor
EJEMPLO 6: Cálculo de dos cofactores de una matriz de 4 × 4
Definición 5: Determinante n × n
EJEMPLO 7: Cálculo del determinante de una matriz de 4 × 4
Solución
Definición 6: Matriz triangular
EJEMPLO 8: Seis matrices triangulares
EJEMPLO 9: El determinante de una matriz triangular inferior
Solución
Teorema 1
EJEMPLO 10: Determinantes de seis matrices triangulares
Teorema 2
FIGURA 3.3
Teorema 3
AUTOEVALUACIÓN
3.7: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
Uso de las TIC
3.8: Propiedades de los determinantes
Teorema 1
EJEMPLO 1: Ilustración del hecho de que det AB = det A det B
Solución
Teorema 2
EJEMPLO 2: Una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante
Teorema 3: Teorema básico de los determinantes
EJEMPLO 3: Obtención del determinante expandiendo en el segundo renglón o la tercera columna
Propiedad 1
EJEMPLO 4: Si A tiene un renglón o columna de ceros, entonces det A = 0
Propiedad 2
EJEMPLO 5: Ilustración de la propiedad 2
Propiedad 3
EJEMPLO 6: Ilustración de la propiedad 3
Propiedad 4
EJEMPLO 7: Ilustración de la propiedad 4
Propiedad 5
EJEMPLO 8: Ilustración de la propiedad 5
Propiedad 6
EJEMPLO 9: Ilustración de la propiedad 6
EJEMPLO 10: Otra ilustración de la propiedad 6
Propiedad 7
EJEMPLO 11: Ilustración de la propiedad 7
EJEMPLO 12: Utilice las propiedades de los determinantes para calcular un determinante de 4 × 4
Solución
EJEMPLO 13: Uso de las propiedades para calcular un determinante de 4 × 4
Solución
EJEMPLO 14: Uso de las propiedades para calcular un determinante de 5 × 5
Solución
Teorema 4
AUTOEVALUACIÓN
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
3.8: Desarrollo de competencias
3.9: Demostración de tres teoremas importantes y algo de historia
Teorema 1: Teorema básico
Lema 1
Lema 2
Teorema 2
Teorema 3
Nota biográfica
Breve historia de los determinantes
3.9: Desarrollo de competencias
3.10: Determinantes e inversas
Teorema 1
Definición 1: La adjunta
EJEMPLO 1: Cálculo de la adjunta de una matriz de 3 × 3
Solución
EJEMPLO 2: Cálculo de la adjunta de una matriz de 4 × 4
Solución
EJEMPLO 3: La adjunta de una matriz de 2 × 2
Teorema 2
Teorema 3
EJEMPLO 4: Uso del determinante y la adjunta para calcular la inversa
Solución
EJEMPLO 5: Cálculo de la inversa de una matriz de 4 × 4 usando el determinante y la adjunta
Solución
Teorema 4: Teorema de resumen
AUTOEVALUACIÓN
3.10: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
3.11: Regla de Cramer
Teorema 1: Regla de Cramer
EJEMPLO 1: Solución de un sistema de 3 × 3 utilizando la regla de Cramer
Solución
EJEMPLO 2: Solución de un sistema de 4 × 4 usando la regla de Cramer
Solución
AUTOEVALUACIÓN
3.11: Desarrollo de competencias
FIGURA 3.4
RESPUESTA A LA AUTOEVALUACIÓN
Resumen
Competencia final de la unidad 3
Unidad 4: ESPACIOS VECTORIALES
Competencia específica
Competencias genéricas
4.1: Introducción
4.2: Definición y propiedades básicas
Definición 1: Espacio vectorial real
Axiomas de un espacio vectorial
EJEMPLO 1: El espacio ℝn
EJEMPLO 2: Espacio vectorial trivial
EJEMPLO 3: Conjunto que no es un espacio vectorial
EJEMPLO 4: El conjunto de puntos en ℝ2 que se encuentran en una recta que pasa por el origen constituye un espacio vectorial
EJEMPLO 5: El conjunto de puntos en ℝ2 que se encuentran sobre una recta que no pasa por el origen no constituye un espacio vectorial
EJEMPLO 6: El conjunto de puntos en ℝ3 que se encuentran en un plano que pasa por el origen constituye un espacio vectorial
EJEMPLO 7: El espacio vectorial Pn
EJEMPLO 8: Los espacios vectoriales C [0, 1] y C [a, b]
EJEMPLO 9: El espacio vectorial Mnm
EJEMPLO 10: Un conjunto de matrices invertibles puede no formar un espacio vectorial
EJEMPLO 11: Un conjunto de puntos en un semiplano puede no formar un espacio vectorial
EJEMPLO 12: El espacio ℂn
Teorema 1
DEMOSTRACIÓN
AUTOEVALUACIÓN
4.2: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
4.3: Subespacios
Definición 1: Subespacio
Teorema 1: Subespacio
Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacío es un subespacio
DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 1: El subespacio trivial
EJEMPLO 2: Un espacio vectorial es un subespacio en sí mismo
EJEMPLO 3: Un subespacio propio de ℝ2
EJEMPLO 4: Un subespacio propio de ℝ3
EJEMPLO 5: Otro subespacio propio de ℝ3
EJEMPLO 6: ℝ no tiene subespacios propios
EJEMPLO 7: Algunos subespacios propios de Pn
EJEMPLO 8: Un subespacio propio de Mmn
EJEMPLO 9: Un subconjunto que no es un subespacio propio de Mmn
EJEMPLO 10: Un subespacio propio de C [0, 1]
EJEMPLO 11: C1 [0, 1] es un subespacio propio de C [0, 1]
EJEMPLO 12: Otro subespacio propio de C [0, 1]
Teorema 2
DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 13: La intersección de dos subespacios de ℝ3 es un subespacio
AUTOEVALUACIÓN
4.3: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
4.4: Combinación lineal y espacio generado
Definición 1: Combinación lineal
EJEMPLO 1: Una combinación lineal en ℝ3
EJEMPLO 2: Una combinación lineal en M23
EJEMPLO 3: Combinaciones lineales en Pn
Definición 2: Conjunto generador
EJEMPLO 4: Conjunto de vectores que generan ℝ2 y ℝ3
EJEMPLO 5: n + 1 vectores que generan a Pn
EJEMPLO 6: Cuatro vectores que generan a M22
EJEMPLO 7: Ningún conjunto finito de polinomios generan a P
Definición 3: Espacio generado por un conjunto de vectores
Teorema 1
DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 8: El espacio generado por dos vectores en ℝ3
FIGURA 4.1
FIGURA 4.2
Teorema 2
AUTOEVALUACIÓN
4.4: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
4.5: Independencia lineal
Definición 1: Dependencia e independencia lineal
Teorema 1: Dependencia e independencia lineal
DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 1: Dos vectores linealmente dependientes en ℝ4
EJEMPLO 2: Dos vectores linealmente dependientes en ℝ3
EJEMPLO 3: Determinación de la dependencia o independencia lineal de tres vectores en ℝ3
Solución
EJEMPLO 4: Determinación de la dependencia lineal de tres vectores en ℝ3
Solución
Interpretación geométrica de la dependencia lineal en ℝ3
FIGURA 4.3
Teorema 2
EJEMPLO 5: Cuatro vectores en ℝ3 que son linealmente dependientes
Teorema 3
EJEMPLO 6: Soluciones a un sistema homogéneo escritas como combinaciones lineales de vectores solución linealmente independientes
Solución
Teorema 4
DEMOSTRACIÓN
Teorema 5
DEMOSTRACIÓN
Teorema 6: Teorema de resumen
DEMOSTRACIÓN
Teorema 7
DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 7: Tres vectores en ℝ3 generan ℝ3 si su determinante es diferente de cero
EJEMPLO 8: Tres matrices linealmente independientes en M23
Solución
EJEMPLO 9: Cuatro polinomios linealmente independientes en P3
Solución
EJEMPLO 10: Tres polinomios linealmente independientes en P2
Solución
AUTOEVALUACIÓN
4.5: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
4.6: Bases y dimensión
Definición 1: Base
EJEMPLO 1: Base canónica para Pn
EJEMPLO 2: Base canónica para M22
EJEMPLO 3: Una base para un subespacio de ℝ3
Solución
Teorema 1
Teorema 2
DEMOSTRACIÓN
Definición 2: Dimensión
EJEMPLO 4: La dimensión de ℝn
EJEMPLO 5: La dimensión de Pn
EJEMPLO 6: La dimensión de Mmn
EJEMPLO 7: P tiene dimensión infinita
Teorema 3
DEMOSTRACIÓN
Teorema 4
EJEMPLO 8: C[0, 1] y C1[0, 1] tienen dimensión infinita
EJEMPLO 9: Los subespacios de ℝ3
EJEMPLO 10: Espacios de solución y espacio nulo
EJEMPLO 11: Una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo
Solución
EJEMPLO 12: Una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo
Solución
Teorema 5
DEMOSTRACIÓN
AUTOEVALUACIÓN
4.6: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
4.7: Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
Definición 1: Espacio nulo y nulidad de una matriz
EJEMPLO 1: Espacio nulo y nulidad de una matriz de 2 × 3
EJEMPLO 2: Espacio nulo y nulidad de una matriz de 3 × 3
Teorema 1
DEMOSTRACIÓN
Definición 2: Imagen de una matriz
Teorema 2
DEMOSTRACIÓN
Definición 3: Rango de una matriz
Definición 4: Espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
Teorema 3
DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 3: CÁlculo de NA, ν(A), imagen A, ρ(A), RA y CA para una matriz de 2 × 3
Teorema 4
DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 4: CÁlculo de im(A) y ρ(A) para una matriz de 3 × 3
Solución
Teorema 5
DEMOSTRACIÓN
Teorema 6
EJEMPLO 5: CÁlculo de ρ(A) y RA para una matriz de 3 × 3
EJEMPLO 6: Determinación de una base para el espacio generado por cuatro vectores en ℝ3
Solución
EJEMPLO 7: CÁlculo del espacio nulo de una matriz de 4 × 4
Solución
Teorema 7
DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 8: Ilustración de que ρ(A) + ν(A) = n
EJEMPLO 9: Ilustración de que ρ(A) + ν(A) = n
Solución
Teorema 8
DEMOSTRACIÓN
Teorema 9
DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 10: Uso del teorema 9 para determinar si un sistema tiene soluciones
Solución
EJEMPLO 11: Uso del teorema 9 para determinar si un sistema tiene soluciones
Solución
Teorema 10: Teorema de resumen
AUTOEVALUACIÓN
4.7: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
Uso de las TIC
4.8: Cambio de base
FIGURA 4.4
Definición 1: Matriz de transición
Teorema 1
DEMOSTRACIÓN
Teorema 2
DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 1: Expresión de vectores en ℝ3 en términos de una nueva base
Solución
EJEMPLO 2: Expresión de polinomios en P2 en términos de una nueva base
Solución
EJEMPLO 3: Conversión de una base a otra en ℝ2
Solución
Teorema 3
DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 4: Determinación de si tres polinomios en P2 son linealmente dependientes o independientes
Solución
EJEMPLO 5: Determinación de si cuatro matrices de 2 × 2 son linealmente dependientes o independientes
Solución
AUTOEVALUACIÓN
4.8: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIóN
4.9: Bases ortonormales
Definición 1: Conjunto ortonormal en ℝn
Definición 2: Longitud o norma de un vector
EJEMPLO 1: La norma de un vector en ℝ2
EJEMPLO 2: La norma de un vector en ℝ3
EJEMPLO 3: La norma de un vector en ℝ5
Teorema 1
DEMOSTRACIÓN
Teorema 2: Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
DEMOSTRACIÓN
FIGURA 4.5
EJEMPLO 4: Construcción de una base ortonormal en ℝ3
Solución
EJEMPLO 5: Una base ortonormal para un subespacio de ℝ3
Solución
FIGURA 4.6
Definición 3: Matriz ortogonal
Teorema 3
DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 6: Una matriz ortogonal
AUTOEVALUACIÓN
4.9: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
4.10: Espacios con producto interno
Definición 1: Espacio con producto interno
EJEMPLO 1: Un producto interno en ℝn
EJEMPLO 2: Un producto interno en ℂn
EJEMPLO 3: Producto interno de dos vectores en ℂ3
EJEMPLO 4: Un producto interno en C [a, b]
EJEMPLO 5: El producto interno de dos funciones en C [0, 1]
Definición 2
EJEMPLO 6: Dos vectores ortogonales en ℂ2
EJEMPLO 7: Dos funciones ortogonales en C [0, 2π]
Definición 3: Conjunto ortonormal
Teorema 1
Teorema 2
EJEMPLO 8: Una base ortonormal P2[0, 1]
Solución
EJEMPLO 9: Un conjunto ortonormal infinito C [0, 2π]
AUTOEVALUACIÓN
4.10: Desarrollo de competencias
Resumen
Competencia final de la unidad 4
Unidad 5: TRANSFORMACIONES LINEALES
Competencia específica
Competencias genéricas
5.1: Definición y ejemplos
EJEMPLO 1: Reflexión respecto al eje x
FIGURA 5.1
EJEMPLO 2: Transformación de un vector de producción en un vector de materia prima
Definición 1: Transformación lineal
EJEMPLO 3: Una transformación lineal de ℝ2 en ℝ3
EJEMPLO 4: La transformación cero
EJEMPLO 5: La transformación identidad
EJEMPLO 6: Transformación de reflexión
FIGURA 5.2
EJEMPLO 7: Transformación de ℝn → ℝm dada por la multiplicación por una matriz de m × n
EJEMPLO 8: Transformación de rotación
FIGURA 5.3
EJEMPLO 9: Transformación de proyección ortogonal
EJEMPLO 10: Dos operadores de proyección
FIGURA 5.4
EJEMPLO 11: Operador de transposición
EJEMPLO 12: Operador integral
EJEMPLO 13: Operador diferencial
Advertencia
EJEMPLO 14: Una transformación que no es lineal
AUTOEVALUACIÓN
Falso-verdadero
5.1: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
5.2: Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo
Teorema 1
DEMOSTRACIÓN
Teorema 2
DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 1: Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector
Solución
Teorema 3
DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 2: Definición de una transformación lineal de ℝ2 en un subespacio de ℝ3
Solución
Definición 1: Núcleo e imagen de una transformación lineal
Teorema 4
DEMOSTRACIÓN
EJEMPLO 3: Núcleo e imagen de la transformación cero
EJEMPLO 4: Núcleo e imagen de la transformación identidad
EJEMPLO 5: Núcleo e imagen de un operador de proyección
Definición 2: Nulidad y rango de una transformación lineal
EJEMPLO 6: Núcleo e imagen de un operador traspuesto
EJEMPLO 7: Núcleo e imagen de una transformación de P3 en P2
EJEMPLO 8: Núcleo e imagen de un operador integral
AUTOEVALUACIÓN
5.2 Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
5.3: Representación matricial de una transformación lineal
Teorema 1
DEMOSTRACIÓN
Definición 1: Matriz de transformación
Teorema 2
EJEMPLO 1: Representación matricial de una transformación de proyección
Solución
EJEMPLO 2: Representación matricial de una transformación de ℝ3 en ℝ4
Solución
EJEMPLO 3: Representación matricial de una transformación de ℝ3 en ℝ3
Solución
EJEMPLO 4: Representación matricial de una transformación cero
EJEMPLO 5: Representación matricial de una transformación cero
Teorema 3
DEMOSTRACIÓN
Teorema 4
EJEMPLO 6: Representación matricial de una transformación de P2 en P3
Solución
EJEMPLO 7: Representación matricial de una transformación de P3 en P2
Solución
EJEMPLO 8: Representación matricial relativa a dos bases no estándar en ℝ2
Solución
EJEMPLO 9: La representación matricial de una transformación lineal respecto a dos bases no estándar en ℝ2 puede ser diagonal
Solución
Teorema 5
Expansiones a lo largo de los ejes x o y
FIGURA 5.5
Compresión a lo largo de los ejes x o y
FIGURA 5.6
Reflexiones
FIGURA 5.7
Cortes
FIGURA 5.8
FIGURA 5.9
TABLA 5.1: Transformaciones lineales especiales de ℝ2 en ℝ2
TABLA 5.2: Matrices elementales en ℝ2
Teorema 6
DEMOSTRACIÓN
Teorema 7
EJEMPLO 10: Descomposición de una transformación lineal en ℝ2 en una sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones
FIGURA 5.10
AUTOEVALUACIÓN
5.3: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
Resumen
Competencia final de la unidad 5
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Apéndice A: VALORES CARACTERÍSTICOS, VECTORES CARACTERÍSTICOS Y FORMAS CANÓNICAS
A.1: Valores característicos y vectores característicos
Definición 1: Valor característico y vector característico
EJEMPLO 1: Valores característicos y vectores característicos de una matriz de 2 ×2
EJEMPLO 2: Valores característicos y vectores característicos de la matriz identidad
Teorema 1
Definición 2: Ecuación y polinomio característicos
Teorema 2
Definición 3: Espacio característico
Teorema 3
EJEMPLO 3: Cálculo de valores y vectores característicos
EJEMPLO 4: Una matriz de 3 × 3 con valores característicos distintos
EJEMPLO 5: Una matriz de 2 ×2 con uno de sus valores característicos iguales a cero
EJEMPLO 6: Una matriz de 2 ×2 con valores característicos conjugados complejos
Teorema 4
EJEMPLO 7: Valores característicos de una matriz triangular
EJEMPLO 8: Una matriz de 2 ×2 con un valor característico y dos vectores característicos linealmente independientes
EJEMPLO 9: Una matriz de 2 ×2 con un valor característico y sólo un vector característico independiente
EJEMPLO 10: Una matriz de 3 × 3 con dos valores característicos y tres vectores característicos linealmente independientes
EJEMPLO 11: Una matriz de 3 × 3 con un valor característico y sólo un vector característico linealmente independiente
EJEMPLO 12: Una matriz de 3 × 3 con un valor característico y dos vectores característicos linealmente independientes
Definición 4: Multiplicidad geométrica
Teorema 5
Teorema 6
Teorema 7: Teorema de resumen (punto de vista 7)
AUTOEVALUACIÓN
A.1: Desarrollo de competencias
Uso de las TIC
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
A.2: Matrices semejantes y diagonalización
Definición 1 Matrices semejantes
EJEMPLO 1: Dos matrices semejantes
EJEMPLO 2: Una matriz semejante a una matriz diagonal
Teorema 1
EJEMPLO 3: Los valores característicos de matrices semejantes son los mismos
Definición 2 Matriz diagonalizable
Teorema 2
EJEMPLO 4: Diagonalización de una matriz de 2 ×2
EJEMPLO 5: Diagonalización de una matriz de 3 × 3 con tres valores característicos distintos
EJEMPLO 6: Diagonalización de una matriz de 3 × 3 con dos valores característicos distintos y tres vectores característicos linealmente independientes
EJEMPLO 7: Una matriz de 2 × 2 con sólo un vector característico linealmente independiente que no se puede diagonalizar
AUTOEVALUACIÓN
A.2: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
A.3: Formas cuadráticas y secciones cónicas
Definición 1 Ecuación cuadrática y forma cuadrática
EJEMPLO 1: Expresión de una forma cuadrática en las nuevas variables x′ y y′ sin el término x′y′
Teorema 1 Teorema de los ejes principales en ℝ2
EJEMPLO 2: Identificación de una hipérbola
Solución
FIGURA A.1
EJEMPLO 3: Una elipse
Solución
FIGURA A.2
EJEMPLO 4: Una sección cónica degenerada
Solución
EJEMPLO 5: Una elipsoide
FIGURA A.3
Definición 2 Forma cuadrática
EJEMPLO 6: Una forma cuadrática en cuatro variables
EJEMPLO 7: Una matriz simétrica que corresponde a una forma cuadrática en cuatro variables
Solución
AUTOEVALUACIÓN
A.3: Desarrollo de competencias
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
FÓRMULAS MATEMÁTICAS
Formulario básico
Repaso de álgebra
Enteros
Enteros positivos (números naturales)
Enteros no negativos (números enteros)
Números racionales
Números irracionales
Números reales
Leyes de exponentes
Exponente negativo
Radical
Exponentes racionales y radicales
Fórmula cuadrática
Expansiones binomiales
Triángulo de Pascal
Fórmulas de factorización
Definición del valor absoluto
Propiedades de desigualdades
Fórmulas de geometría
Gráficas y funciones
Para encontrar intersecciones
Funciones de polinomios
Función lineal
Función cuadrática
Vértice (h, k) de una parábola
Funciones par e impar
Transformaciones rígidas
Función racional
Asíntotas
Función potencia
Revisión de trigonometría
Definición de seno y coseno de acuerdo con el círculo unitario
Otras funciones trigonométricas
Fórmulas de conversión
Definición de seno y coseno de acuerdo con el triángulo recto
Otras funciones trigonométricas
Signos de seno y coseno
Valores de seno y coseno para ángulos especiales
Límites para las funciones seno y coseno
Periodicidad de las funciones trigonométricas
Identidades de cofunción
Identidades pitagóricas
Identidades par/impar
Fórmulas de suma
Fórmulas de diferencia
Fórmulas del ángulo doble
Fórmulas alternas del ángulo doble para coseno
Fórmulas del medio ángulo como se usa en cálculo
Leyes de los senos
Leyes de los cosenos
Funciones trigonométricas inversas
Ciclos para seno, coseno y tangente
Funciones exponencial y logarítmica
El número
Definiciones del número e
Función exponencial
Función exponencial natural
Función logarítmica
Función logarítmica natural
Leyes de logaritmos
Propiedades de logaritmos
Cambio de la base b a la base e
Funciones hiperbólicas
Funciones hiperbólicas inversas como logaritmos
Identidades par/impar
Identidades adicionales
Diferenciación
Reglas
Funciones
Fórmulas de integración
Formas b´sicas
Formas que implican a2+u2
Formas que implican a2−u2
Formas que implican u2−a2
Formas que implican a + bu
Formas trigonométricas
Formas trigonométricas inversas
Formas exponenciales y logarítmicas
Formas hiperbólicas
Formas que implican 2au−u2
Algunas integrales definidas
Respuestas a la evaluación diagnóstica
Evaluación diagnóstica, página xiv
Respuestas de los problemas impares
Problemas 1.1
Problemas 2.2
Problemas 2.3
Problemas 2.4
Ejercicios de repaso de la unidad 2
Problemas 3.1
Problemas 3.2
Problemas 3.3
Problemas 3.4
Problemas 3.5
Problemas 3.6
Problemas 3.7
Problemas 3.8
Problemas 3.9
Problemas 3.10
Problemas 3.11
Ejercicios de repaso de la unidad 3
Problemas 4.2
Problemas 4.3
Problemas 4.4
Problemas 4.5
Problemas 4.6
Problemas 4.7
Problemas 4.8
Problemas 4.9
Problemas 4.10
Ejercicios de repaso de la unidad 4
Problemas 5.1
Problemas 5.2
Problemas 5.3
Ejercicios de repaso de la unidad 5
Problemas A.1
Problemas A.2
Problemas A.3
Índice analítico
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