Matemáticas 4, Álgebra lineal

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Anteriormente el estudio del álgebra lineal era parte de los planes de estudios de los alumnos
de matemáticas y física principalmente, y también recurrían a ella aquellos que necesitaban
conocimientos de la teoría de matrices para trabajar en áreas técnicas como la estadística multivariable.
Hoy en día, el álgebra lineal se estudia en diversas disciplinas gracias al uso de las
computadoras y al aumento general en las aplicaciones de las matemáticas en áreas que, por
tradición, no son técnicas. Esta edición ofrece nuevas características, y conserva la estructura ya probada y clásica que
tienen las otras ediciones de mi obra Álgebra lineal.

Tabla de contenidos:

Front Matter
   PRÓLOGO A ESTA EDICIÓN
   Las competencias y el álgebra lineal
   Materiales de apoyo
   AGRADECIMIENTOS ESPECIALES
   PREFACIO DEL AUTOR
   Prerrequisitos
   Aplicaciones
   TeorÍa
   CARACTERÍSTICAS
   Ejemplos
   Ejercicios
   Teorema de resumen
   AutoevaluaciÓn
   Manejo de calculadora
   ResÚmenes de capÍtulo
   GeometrÍa
   Semblanzas histÓricas
   CaracterÍsticas de MatemÁticas 4. Álgebra lineal
   NumeraciÓn
   AGRADECIMIENTOS
Unidad 1: NÚMEROS COMPLEJOS
   Competencia especÍfica a desarrollar
   EJEMPLO 1
   DefiniciÓn 1
   EJEMPLO 2
   EJEMPLO 3
   Plano complejo
   Figura 1.1
   Conjugado
   Figura 1.2
   EJEMPLO 4
   NÚmero imaginario
   Magnitud
   Argumento
   Figura 1.3
   Figura 1.4
   Forma polar
   EJEMPLO 5
   Figura 1.5
   EJEMPLO 6
   EJEMPLO 7
   DemostraciÓn de la identidad de Euler
   Desarrollo de competencias. Unidad 1
Unidad 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
   Competencia especÍfica a desarrollar
   2.1: IntroducciÓn
   2.2: Dos ecuaciones lineales con dos incÓgnitas
   EJEMPLO 1: Sistema con una solución única
   EJEMPLO 2: Sistema con un número infinito de soluciones
   EJEMPLO 3: Sistema sin solución
   Figura 2.1
   Sistemas equivalentes
   Teorema 1: Teorema de resumen
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias 2.2
   Respuestas a la AutoevaluaciÓn
   2.3: m ecuaciones con n incÓgnitas: eliminaciÓn de Gauss-Jordan y gaussiana
   EJEMPLO 1: Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: solución única
   EliminaciÓn de Gauss-Jordan
   Matriz
   Matriz de coeficientes
   Matriz m × n
   Matriz aumentada
   Operaciones elementales con renglones
   ReducciÓn por renglones
   EJEMPLO 2: Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: número infinito de soluciones
   EJEMPLO 3: Sistema inconsistente
   DefiniciÓn 1: Sistemas inconsistentes y consistentes
   DefiniciÓn 2: Forma escalonada reducida por renglones y pivote
   EJEMPLO 4: Cinco matrices en la forma escalonada reducida por renglones
   DefiniciÓn 3: Forma escalonada por renglones
   EJEMPLO 5: Cinco matrices en la forma escalonada por renglones
   EJEMPLO 6: Solución de un sistema mediante eliminación gaussiana
   SustituciÓn hacia atrÁs
   EliminaciÓn gaussiana
   EJEMPLO 7: Solución de un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas
   EJEMPLO 8: Un problema de administración de recursos
   EJEMPLO 9: El modelo de insumo-producto de Leontief
   EJEMPLO 10: El modelo de Leontief aplicado a un sistema económico con tres industrias
   Figura 2.2
   Figura 2.3
   Figura 2.4
   Figura 2.5
   Figura 2.6
   Semblanza de… Carl Friedrich Gauss, 1777-1855
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias 2.3
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   MANEJO DE LA CALCULADORA
   2.4: Sistemas homogÉneos de ecuaciones
   SoluciÓn trivial o soluciÓn cero
   Soluciones no triviales
   EJEMPLO 1: Sistema homogéneo que tiene únicamente la solución trivial
   EJEMPLO 2: Un sistema homogéneo con un número infinito de soluciones
   EJEMPLO 3: Un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene
   Teorema 1
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias 2.4
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   MANEJO DE LA CALCULADORA
   Resumen
   COMPETENCIAS FINALES. UNIDAD 2
Unidad 3: MATRICES Y DETERMINANTES
   Competencia especÍfica a desarrollar
   3.1: Vectores y matrices
   DefiniciÓn 1: Vector renglón de n componentes
   DefiniciÓn 2: Vector columna de n componentes
   Componentes de un vector
   Vector cero
   EJEMPLO 1: Cuatro vectores
   ADVERTENCIA
   El espacio símbolo
   DefiniciÓn 3: Matriz
   Renglones y columnas de una matriz
   Componente o elemento
   Matriz cuadrada
   Matriz cero
   Tamaño de una matriz
   EJEMPLO 2: Cinco matrices
   EJEMPLO 3: Localización de las componentes de una matriz
   DefiniciÓn 4: Igualdad de matrices
   EJEMPLO 4: Matrices iguales y matrices distintas
   DefiniciÓn 5: Suma de matrices
   ADVERTENCIA
   EJEMPLO 5: Suma de dos matrices
   Escalares
   DefiniciÓn 6: Multiplicación de una matriz por un escalar
   EJEMPLO 6: Múltiplos escalares de matrices
   EJEMPLO 7: Suma de múltiplos escalares de dos vectores
   Teorema 1
   EJEMPLO 8: Ilustración de la ley asociativa para la suma de matrices
   AutoevaluaciÓn
   Semblanza de… Sir William Rowan Hamilton, 1805-1865
   Desarrollo de competencias 3.1
   Figura 3.1
   Figura 3.2
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   MANEJO DE LA CALCULADORA
   Suma y multiplicación por un escalar en la HP50g
   3.2: Productos vectorial y matricial
   EJEMPLO 1: Producto de un vector de demanda y un vector de precios
   DefiniciÓn 1: Producto escalar
   ADVERTENCIA
   EJEMPLO 2: Producto escalar de dos vectores
   EJEMPLO 3: Producto escalar de dos vectores
   Teorema 1
   DefiniciÓn 2: Producto de dos matrices
   ADVERTENCIA
   EJEMPLO 4: Producto de dos matrices de 2 × 2
   EJEMPLO 5: El producto de una matriz de 2 × 3 y una de 3 × 4 está definido pero el producto de una matriz 3 × 4 y una de 2 × 3 no lo está
   EJEMPLO 6: Contacto directo e indirecto con una enfermedad contagiosa
   Teorema 2
   Teorema 3
   EJEMPLO 7: Cómo escribir las columnas de AB como combinación lineal de las columnas de A
   EJEMPLO 8: Multiplicación por bloques
   EJEMPLO 9: Dos matrices que son conmutativas
   Signo de sumatoria
   Índice de la suma
   EJEMPLO 10: Interpretación de la notación de sumatoria
   EJEMPLO 11: Interpretación de la notación de sumatoria
   EJEMPLO 12: Interpretación de la notación de sumatoria
   EJEMPLO 13: Cómo escribir una suma usando la notación de sumatoria
   EJEMPLO 14: Cómo escribir el producto escalar haciendo uso de la notación de sumatoria
   Demonstrción de los teoremas 2 Y 3
   Ley asociativa
   Leyes distributivas
   Semblanza de… Arthur Cayley y el álgebra de matrices
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias 3.2
   Vectores ortogonales
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA
   3.3: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
   EJEMPLO 1: Cómo escribir un sistema mediante su representación matricial
   Sistema homogéneo asociado
   Teorema 1
   DemostraciÓn
   Corolario
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 2: Cómo escribir un número infinito de soluciones como una solución particular a un sistema no homogéneo más las soluciones al sistema homogéneo
   Autoevaluación
   Desarrollo de competencias 3.3
   Respuesta a la autoevaluación
   3.4: Inversa de una matriz cuadrada
   DefiniciÓn 1: Matriz identidad
   EJEMPLO 1: Dos matrices identidad
   Teorema 1
   DemostraciÓn
   DefiniciÓn 2: La inversa de una matriz
   Teorema 2
   DemostraciÓn
   Teorema 3
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 2: Cálculo de la inversa de una matriz de 2 × 2
   EJEMPLO 3: Una matriz de 2 × 2 que no es invertible
   Determinante de una matriz 2 × 2
   Teorema 4
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 4: Cálculo de la inversa de una matriz de 2 × 2
   EJEMPLO 5: Una matriz de 2 × 2 que no es invertible
   EJEMPLO 6: Cálculo de la inversa de una matriz de 3 × 3
   ADVERTENCIA
   EJEMPLO 7: Una matriz de 3 × 3 que no es invertible
   DefiniciÓn 3: Matrices equivalentes por renglones
   Teorema 5
   EJEMPLO 8: Uso de la inversa de una matriz para resolver un sistema de ecuaciones
   EJEMPLO 9: La tecnología y las matrices de Leontief: modelo de la economía estadounidense en 1958
   Tabla 3.1
   Tabla 3.2: Demandas internas en 1958 en la economía de Estados Unidos
   Tabla 3.3: Demandas externas sobre la economía de Estados Unidos en 1958 (en millones de dólares)
   Teorema 6: Teorema de resumen
   DemostraciÓn
   Teorema 7
   DemostraciÓn
   Autoevaluación
   Desarrollo de competencias 3.4
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA
   3.5: Transpuesta de una matriz
   DefiniciÓn 1: Transpuesta
   EJEMPLO 1: Obtención de las transpuestas de tres matrices
   Teorema 1
   DemostraciÓn
   DefiniciÓn 2: Matriz simétrica
   EJEMPLO 2: Cuatro matrices simétricas
   Otra forma de escribir el producto escalar
   Autoevaluación
   Desarrollo de competencias 3.5
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA
   3.6: Matrices elementales y matrices inversas
   DefiniciÓn 1: Matriz elemental
   EJEMPLO 1: Tres matrices elementales
   Teorema 1
   EJEMPLO 2: Operaciones elementales mediante la multiplicación por matrices elementales
   Tabla 3.4
   Teorema 2
   Teorema 3
   Demostración
   EJEMPLO 3: Cómo escribir una matriz invertible como el producto de matrices elementales
   Teorema 4: Teorema de resumen
   DefiniciÓn 2: Matriz triangular superior y matriz triangular inferior
   EJEMPLO 4: Dos matrices triangulares superiores y dos matrices triangulares inferiores
   Teorema 5
   Demostración
   EJEMPLO 5: Cómo escribir una matriz como el producto de matrices elementales y una matriz triangular superior
   Autoevaluación
   Desarrollo de competencias 3.6
   Respuestas a la autoevaluación
   3.7: Determinantes
   DefiniciÓn 1
   DefiniciÓn 2: Determinante de 3 × 3
   EJEMPLO 1: Cálculo de un determinante de 3 × 3
   EJEMPLO 2: Cálculo de un determinante de 3 × 3
   EJEMPLO 3: Cálculo de un determinante de 3 × 3 usando el nuevo método
   ADVERTENCIA
   DefiniciÓn 3: Menor
   EJEMPLO 4: Cálculo de dos menores de una matriz de 3 × 3
   EJEMPLO 5: Cálculo de dos menores de una matriz de 4 × 4
   DefiniciÓn 4: Cofactor
   EJEMPLO 6: Cálculo de dos cofactores de una matriz de 4 × 4
   DefiniciÓn 5: Determinante n × n
   EJEMPLO 7: Cálculo del determinante de una matriz de 4 × 4
   DefiniciÓn 6: Matriz triangular
   EJEMPLO 8: Seis matrices triangulares
   EJEMPLO 9: El determinante de una matriz triangular inferior
   Teorema 1
   Demostración
   EJEMPLO 10: Determinantes de seis matrices triangulares
   Teorema 2
   Demostración
   Interpretación geométrica del determinante de 2 × 2
   Figura 3.3
   Teorema 3
   Demostración
   Autoevaluación
   Desarrollo de competencias 3.7
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA
   3.8: Propiedades de los determinantes
   Teorema 1
   Demostración
   EJEMPLO 1: Ilustración del hecho de que det AB = det A det B
   ADVERTENCIA
   Teorema 2
   Demostración
   EJEMPLO 2: Una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante
   Teorema 3
   EJEMPLO 3: Obtención del determinante expandiendo en el segundorenglón o la tercera columna
   Propiedad 1
   Demostración
   EJEMPLO 4: Si A tiene un renglón o columna de ceros, entonces det A = 0
   Propiedad 2
   Demostración
   EJEMPLO 5: Ilustración de la propiedad 2
   Propiedad 3
   Demostración
   EJEMPLO 6: Ilustración de la propiedad 3
   Propiedad 4
   Demostración
   EJEMPLO 7: Ilustración de la propiedad 4
   Propiedad 5
   Demostración
   EJEMPLO 8: Ilustración de la propiedad 5
   Propiedad 6
   Demostración
   EJEMPLO 9: Ilustración de la propiedad 6
   EJEMPLO 10: Otra ilustración de la propiedad 6
   Propiedad 7
   Demostración
   EJEMPLO 11: Ilustración de la propiedad 7
   EJEMPLO 12: Utilice las propiedades de los determinantes para calcular un determinante de 4 × 4
   EJEMPLO 13: Uso de las propiedades para calcular un determinante de 4 × 4
   EJEMPLO 14: Uso de las propiedades para calcular un determinante de 5 × 5
   Teorema 4
   Demostración
   Autoevaluación
   Respuestas a la autoevaluación
   Desarrollo de competencias 3.8
   3.9: Demostración de tres teoremas importantes y algo de historia
   Teorema 1
   DemostraciÓn
   Lema 1
   DemostraciÓn
   Lema 2
   Teorema 2
   DemostraciÓn
   Teorema 3
   DemostraciÓn
   Semblanza de… Breve historia de los determinantes
   Desarrollo de competencias 3.9
   3.10: Determinantes e inversas
   Teorema 1
   DemostraciÓn
   DefiniciÓn 1: La adjunta
   EJEMPLO 1: Cálculo de la adjunta de una matriz de 3 × 3
   EJEMPLO 2: Cálculo de la adjunta de una matriz de 4 × 4
   EJEMPLO 3: La adjunta de una matriz de 2 × 2
   ADVERTENCIA
   Teorema 2
   DemostraciÓn
   Teorema 3
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 4: Uso del determinante y la adjunta para calcular la inversa
   EJEMPLO 5: Cálculo de la inversa de una matriz de 4 × 4 usando el determinante y la adjunta
   Teorema 4: Teorema de resumen
   Autoevaluación
   Desarrollo de competencias 3.10
   Respuestas a la autoevaluación
   3.11: Regla de Cramer
   Teorema 1
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 1: Solución de un sistema de 3 × 3 utilizando la regla de Cramer
   EJEMPLO 2: Solución de un sistema de 4 × 4 usando la regla de Cramer
   Autoevaluación
   Desarrollo de competencias 3.11
   Figura 3.4
   Respuesta a la autoevaluación
   Resumen
   COMPETENCIAS FINALES. UNIDAD 3
Unidad 4: ESPACIOS VECTORIALES
   Competencia especÍfica a desarrollar
   4.1: IntroducciÓn
   4.2: DefiniciÓn y propiedades bÁsicas
   DefiniciÓn 1: Espacio vectorial real
   Axiomas de un espacio vectorial
   EJEMPLO 1: El espacio
   EJEMPLO 2: Espacio vectorial trivial
   EJEMPLO 3: Conjunto que no es un espacio vectorial
   EJEMPLO 4: El conjunto de puntos en que se encuentran en una recta que pasa por el origen constituye un espacio vectorial
   EJEMPLO 5: El conjunto de puntos en que se encuentran sobre una recta que no pasa por el origen no constituye un espacio vectorial
   EJEMPLO 6: El conjunto de puntos en que se encuentran en un plano que pasa por el origen constituye un espacio vectorial
   EJEMPLO 7: El espacio vectorial Pn
   EJEMPLO 8: Los espacios vectoriales C[0, 1] y C[a, b]
   EJEMPLO 9: El espacio vectorial Mnm
   EJEMPLO 10: Un conjunto de matrices invertibles puede no formar un espacio vectorial
   EJEMPLO 11: Un conjunto de puntos en un semiplano puede no formar un espacio vectorial
   EJEMPLO 12: El espacio
   Teorema 1
   DemostraciÓn
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias 4.2
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   4.3: Subespacios
   DefiniciÓn 1: Subespacio
   Teorema 1: Subespacio
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 1: El subespacio trivial
   EJEMPLO 2: Un espacio vectorial es un subespacio en sí mismo
   EJEMPLO 3: Un subespacio propio de
   EJEMPLO 4: Un subespacio propio de
   EJEMPLO 5: Otro subespacio propio de
   EJEMPLO 6: no tiene subespacios propios
   EJEMPLO 7: Algunos subespacios propios de Pn
   EJEMPLO 8: Un subespacio propio de Mmn
   EJEMPLO 9: Un subconjunto que no es un subespacio propio de Mmn
   EJEMPLO 10: Un subespacio propio de C[0, 1]
   EJEMPLO 11: C1[0, 1] es un subespacio propio de C[0, 1]
   EJEMPLO 12: Otro subespacio propio de C[0, 1]
   Teorema 2
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 13: La intersección de dos subespacios de es un subespacio
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias 4.3
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   4.4: CombinaciÓn lineal y espacio generado
   DefiniciÓn 1: Combinación lineal
   EJEMPLO 1: Una combinación lineal en
   EJEMPLO 2: Una combinación lineal en M23
   EJEMPLO 3: Combinaciones lineales en Pn
   DefiniciÓn 2: Conjunto generador
   EJEMPLO 4: Conjunto de vectores que generan y
   EJEMPLO 5: n + 1 vectores que generan a Pn
   EJEMPLO 6: Cuatro vectores que generan a M22
   EJEMPLO 7: Ningún conjunto finito de polinomios generan a P
   DefiniciÓn 3: Espacio generado por un conjunto de vectores
   Teorema 1
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 8: El espacio generado por dos vectores en
   Figura 4.1
   Figura 4.2
   Teorema 2
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias 4.4
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   4.5: Independencia lineal
   DefiniciÓn 1: Dependencia e independencia lineal
   Teorema 1: Dependencia e independencia lineal
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 1: Dos vectores linealmente dependientes en
   EJEMPLO 2: Dos vectores linealmente dependientes en
   EJEMPLO 3: Determinación de la dependencia o independencia lineal de tres vectores en
   EJEMPLO 4: Determinación de la dependencia lineal de tres vectores en
   Figura 4.3
   Teorema 2
   EJEMPLO 5: Cuatro vectores en que son linealmente dependientes
   Teorema 3
   EJEMPLO 6: Soluciones a un sistema homogéneo escritas como combinaciones lineales de vectores solución linealmente independientes
   Teorema 4
   DemostraciÓn
   Teorema 5
   DemostraciÓn
   Teorema 6: Teorema de resumen
   DemostraciÓn
   Teorema 7
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 7: Tres vectores en generan si su determinante es diferente de cero
   EJEMPLO 8: Tres matrices linealmente independientes en M23
   EJEMPLO 9: Cuatro polinomios linealmente independientes en P3
   EJEMPLO 10: Tres polinomios linealmente independientes en P2
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias 4.5
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   4.6: Bases y dinensiÓn
   DefinitiÓn 1: Base
   EJEMPLO 1: Base canónica para Pn
   EJEMPLO 2: Base canónica para M22
   EJEMPLO 3: Una base para un subespacio de
   Teorema 1
   Teorema 2
   DemostraciÓn†
   DefiniciÓn 2
   EJEMPLO 4: La dimensión de
   EJEMPLO 5: La dimensión de Pn
   EJEMPLO 6: La dimensión de Mmn
   EJEMPLO 7: P tiene dimensión infinita
   Teorema 3
   DemostraciÓn
   Teorema 4
   EJEMPLO 8: C[0, 1] y C1[0, 1] tienen dimensión infinita
   EJEMPLO 9: Los subespacios de
   EJEMPLO 10: Espacios de solución y espacio nulo
   EJEMPLO 11: Una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo
   EJEMPLO 12: Una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo
   Teorema 5
   DemostraciÓn
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias 4.6
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   4.7: Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
   DefiniciÓn 1: Espacio nulo y nulidad de una matriz
   EJEMPLO 1: Espacio nulo y nulidad de una matriz de 2 × 3
   EJEMPLO 2: Espacio nulo y nulidad de una matriz de 3 × 3
   Teorema 1
   DemostraciÓn
   DefiniciÓn 2: Imagen de una matriz
   Teorema 2
   DemostraciÓn
   DefiniciÓn 3: Rango de una matriz
   DefiniciÓn 4: Espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
   Teorema 3
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 3: Cálculo de NA, v(A), imagen A, ρ(A), RA y CA para una matriz de 2 × 3
   Teorema 4
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 4: Cálculo de Im(A) y ρ(A) para una matriz de 3 × 3
   Teorema 5
   DemostraciÓn
   Teorema 6
   EJEMPLO 5: Cálculo de ρ(A) y RA para una matriz de 3 × 3
   EJEMPLO 6: Determinación de una base para el espacio generado por cuatro vectores en
   EJEMPLO 7: Cálculo del espacio nulo de una matriz de 4 × 4
   Teorema 7
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 8: Ilustración de que ρ(A) + ν(A) = n
   EJEMPLO 9: Ilustración de que ρ(A) + ν(A) = n
   Teorema 8
   DemostraciÓn
   Teorema 9
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 10: Uso del teorema 9 para determinar si un sistema tiene soluciones
   EJEMPLO 11: Uso del teorema 9 para determinar si un sistema tiene soluciones
   Teorema 10: Teorema de resumen
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias 4.7
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   MANEJO DE LA CALCULADORA
   4.8: Cambio de base
   Figura 4.4
   DefiniciÓn 1: Matriz de transición
   Teorema 1
   DemostraciÓn
   Teorema 2
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 1: Expresión de vectores en en términos de una nueva base
   EJEMPLO 2: Expresión de polinomios en P2 en términos de una nueva base
   EJEMPLO 3: Conversión de una base a otra en
   Teorema 3
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 4: Determinación de si tres polinomios en P2 son linealmente dependientes o independientes
   EJEMPLO 5: Determinación de si cuatro matrices de 2 × 2 son linealmente dependientes o independientes
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias 4.8
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   4.9: Bases ortonormales
   DefiniciÓn 1: Conjunto ortonormal en
   DefiniciÓn 2: Longitud o norma de un vector
   EJEMPLO 1: La norma de un vector en
   EJEMPLO 2: La norma de un vector en
   EJEMPLO 3: La norma de un vector en
   Teorema 1
   DemostraciÓn
   Teorema 2: Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
   DemostraciÓn
   Figura 4.5
   EJEMPLO 4: Construcción de una base ortonormal en
   EJEMPLO 5: Una base ortonormal para un subespacio de
   Figura 4.6
   DefiniciÓn 3: Matriz ortogonal
   Teorema 3
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 6: Una matriz ortogonal
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias 4.9
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   4.10: Espacios con producto interno
   DefiniciÓn 1: Espacio con producto interno
   EJEMPLO 1: Un producto interno en
   EJEMPLO 2: Un producto interno en
   EJEMPLO 3: Producto interno de dos vectores en
   EJEMPLO 4: Un producto interno en C[a, b]
   EJEMPLO 5: El producto interno de dos funciones en C[0, 1]
   DefiniciÓn 2
   EJEMPLO 6: Dos vectores ortogonales en
   EJEMPLO 7: Dos funciones ortogonales en C[0, 2π]
   DefiniciÓn 3: Conjunto ortonormal
   Teorema 1
   Teorema 2
   EJEMPLO 8: Una base ortonormal P2[0, 1]
   EJEMPLO 9: Un conjunto ortonormal infinito C[0, 2π]
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias 4.10
   Resumen
   COMPETENCIAS FINALES. UNIDAD 4
Unidad 5: TRANSFORMACIONES LINEALES
   Competencia especÍfica a desarrollar
   5.1: DefiniciÓn y ejemplos
   EJEMPLO 1: Reflexión respecto al eje x
   Figura 5.1
   EJEMPLO 2: Transformación de un vector de producción en un vector de materia prima
   DefiniciÓn 1: Transformación lineal
   Tres observaciones sobre notaciÓn
   EJEMPLO 3: Una transformación lineal de en
   EJEMPLO 4: La transformación cero
   EJEMPLO 5: La transformación identidad
   EJEMPLO 6: Transformación de reflexión
   Figura 5.2
   EJEMPLO 7: Transformación de dada por la multiplicación por una matriz de m × n
   EJEMPLO 8: Transformación de rotación
   Figura 5.3
   EJEMPLO 9: Transformación de proyección ortogonal
   EJEMPLO 10: Dos operadores de proyección
   Figura 5.4
   EJEMPLO 11: Operador de transposición
   EJEMPLO 12: Operador integral
   EJEMPLO 13: Operador diferencial
   ADVERTENCIA
   EJEMPLO 14: Una transformación que no es lineal
   AutoevaluaciÓn
   Falso-verdadero
   Desarrollo de competencias 5.1
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   5.2: Propiedades de las transformaciones lineales :imagen y nÚcleo
   Teorema 1
   DemostraciÓn
   Teorema 2
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 1: Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector
   Teorema 3
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 2: Definición de una transformación lineal de en un subespacio de
   DefiniciÓn 1: Núcleo e imagen de una transformación lineal
   Imagen
   Teorema 4
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 3: Núcleo e imagen de la transformación cero
   EJEMPLO 4: Núcleo e imagen de la transformación identidad
   EJEMPLO 5: Núcleo e imagen de un operador de proyección
   DefiniciÓn 2: Nulidad y rango de una transformación lineal
   EJEMPLO 6: Núcleo e imagen de un operador traspuesto
   EJEMPLO 7: Núcleo e imagen de una transformación de P3 en P2
   EJEMPLO 8: Núcleo e imagen de un operador integral
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias 5.2
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   5.3: RepresentaciÓn matricial de una transformaciÓn lineal
   Teorema 1
   DemostraciÓn
   DefiniciÓn 1: Matriz de transformación
   Teorema 2
   EJEMPLO 1: Representación matricial de una transformación de proyección
   EJEMPLO 2: Representación matricial de una transformación de en
   EJEMPLO 3: Representación matricial de una transformación de en
   EJEMPLO 4: Representación matricial de una transformación cero
   EJEMPLO 5: Representación matricial de una transformación cero
   Teorema 3
   DemostraciÓn
   Teorema 4
   EJEMPLO 6: Representación matricial de una transformación de P2 en P3
   EJEMPLO 7: Representación matricial de una transformación de P3 en P2
   EJEMPLO 8: Representación matricial relativa a dos bases no estándar en
   EJEMPLO 9: La representación matricial de una transformación lineal respecto a dos bases no estándar en puede ser diagonal
   Teorema 5
   GeometrÍa de las transformaciones lineales de en
   Expansiones a lo largo de los ejes x o y
   Figura 5.5
   CompresiÓn a lo largo de los ejes x o y
   Figura 5.6
   Reflexiones
   Figura 5.7
   Cortes
   Figura 5.8
   Figura 5.9
   Tabla 5.1: Transformaciones lineales especiales de en
   Tabla 5.2: Matrices elementales en
   Teorema 6
   DemostraciÓn
   Teorema 7
   EJEMPLO 10: Descomposición de una transformación lineal en en una sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones
   Figura 5.10
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias 5.3
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   Resumen
   COMPETENCIAS FINALES. UNIDAD 5
Back Matter
   Apéndice A: VALORES CARACTERÍSTICOS, VECTORES CARACTERÍSTICOS Y FORMAS CANÓNICAS
   A.1: Valores caracterÍsticos y vectores caracterÍsticos
   DefiniciÓn 1: Valor característico y vector característico
   EJEMPLO 1: Valores característicos y vectores característicos de una matriz de 2 × 2
   EJEMPLO 2: Valores característicos y vectores característicos de la matriz identidad
   Teorema 1
   DefiniciÓn 2: Ecuación y polinomio característicos
   Teorema 2
   DemostraciÓn
   DefiniciÓn 3: Espacio característico
   Teorema 3
   DemostraciÓn
   Multiplicidadalgebraica
   Procedimiento para calcular valores característicos y vectores característicos
   EJEMPLO 3: Cálculo de valores y vectores característicos
   EJEMPLO 4: Una matriz de 3 × 3 con valores característicos distintos
   EJEMPLO 5: Una matriz de 2 × 2 con uno de sus valores característicos iguales a cero
   EJEMPLO 6: Una matriz de 2 × 2 con valores característicos conjugados complejos
   Teorema 4
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 7: Valores característicos de una matriz triangular
   EJEMPLO 8: Una matriz de 2 × 2 con un valor característico y dos vectores característicos linealmente independientes
   EJEMPLO 9: Una matriz de 2 × 2 con un valor característico y sólo un vector característico independiente
   EJEMPLO 10: Una matriz de 3 × 3 con dos valores característicos y tres vectores característicos linealmente independientes
   EJEMPLO 11: Una matriz de 3 × 3 con un valor característico y sólo un vector característico linealmente independiente
   EJEMPLO 12: Una matriz de 3 × 3 con un valor característico y dos vectores característicos linealmente independientes
   DefiniciÓn 4: Multiplicidad geométrica
   Teorema 5
   Teorema 6
   Teorema 7: Teorema de resumen (punto de vista 7)
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias A.1
   MANEJO DE LA CALCULADORA
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   A.2: Matrices semejantes y diagonalizaciÓn
   DefiniciÓn 1: Matrices semejantes
   TransformaciÓn de semejanza
   Definición alternativa de semejanza
   EJEMPLO 1: Dos matrices semejantes
   EJEMPLO 2: Una matriz semejante a una matriz diagonal
   Teorema 1
   DemostraciÓn
   EJEMPLO 3: Los valores característicos de matrices semejantes son los mismos
   DefiniciÓn 2: Matriz diagonalizable
   Teorema 2
   DemostraciÓn
   Corolario
   EJEMPLO 4: Diagonalización de una matriz de 2 × 2
   EJEMPLO 5: Diagonalización de una matriz de 3 × 3 con tres valores característicos distintos
   EJEMPLO 6: Diagonalización de una matriz de 3 × 3 con dos valores característicos distintos y tres vectores característicos linealmente independientes
   EJEMPLO 7: Una matriz de 2 × 2 con sólo un vector característico linealmente independiente que no se puede diagonalizar
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias A.2
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   A.3: Formas cuadrÁticas y secciones cÓnicas
   DefiniciÓn 1: Ecuación cuadrática y forma cuadrática
   EJEMPLO 1: Expresión de una forma cuadrática en las nuevas variables x′ y y′ sin el término x′ y′
   Teorema 1: Teorema de los ejes principales en
   EJEMPLO 2: Identificación de una hipérbola
   Figura A.1
   EJEMPLO 3: Una elipse
   Figura A.2
   EJEMPLO 4: Una sección cónica degenerada
   EJEMPLO 5: Una elipsoide
   Figura A.3
   DefiniciÓn 2: Forma cuadrática
   EJEMPLO 6: Una forma cuadrática en cuatro variables
   EJEMPLO 7: Una matriz simétrica que corresponde a una forma cuadrática en cuatro variables
   AutoevaluaciÓn
   Desarrollo de competencias A.3
   Respuestas a la autoevaluaciÓn
   Respuestas: A PROBLEMAS IMPARES
   Unidad 1
   Unidad 2
   Problemas 2.2
   Problemas 2.3
   Problemas 2.4
   Ejercicios de repaso de la unidad 2
   Unidad 3
   Problemas 3.1
   Problemas 3.2
   Problemas 3.3
   Problemas 3.4
   Problemas 3.5
   Problemas 3.6
   Problemas 3.7
   Problemas 3.8
   Problemas 3.9
   Problemas 3.10
   Problemas 3.11
   Ejercicios de repaso de la unidad 3
   Unidad 4
   Problemas 4.2
   Problemas 4.3
   Problemas 4.4
   Problemas 4.5
   Problemas 4.6
   Problemas 4.7
   Problemas 4.8
   Problemas 4.9
   Problemas 4.10
   Ejercicios de repaso de la unidad 4
   Unidad 5
   Problemas 5.1
   Problemas 5.2
   Problemas 5.3
   Ejercicios de repaso de la unidad 5
   ApÉndice A
   Problemas A.1
   Problemas A.2
   Problemas A.3
   ÍNDICE ANALÍTICO