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Descripción:
Para el estudio de cálculo diferencial e integral se han escrito múltiples libros de texto, algunos con
formalidad absoluta y otros con base en la resolución de ejemplos paso a paso. En el presente texto
pretendemos dar una base teórica-conceptual y aplicarla en la solución paso a paso de múltiples
ejemplos comentados.
Tabla de contenidos:
Front Matter
Acerca de los autores
Prefacio
Complementos
Capítulo 1: Límites
Sumario
Introducción
Tabla 1.1: Valores de f(x) cuando x está en la cercanía de 2.
Figura 1.1.
1.1. Definición informal de límite
1.1.1. Idea intuitiva de límite usando diferentes representaciones del límite de una función
Ejemplo 1.1. Estimación numérica de un límite
Tabla 1.2: Valores de f(x), cuando x está en la cercanía de 0.
Figura 1.2.
Ejercicios 1.1. Estimación numérica de un límite
Comportamientos asociados con la ausencia de un límite
1.2. Límite de una función
1.2.1. Definición formal de límite
Definición de límite
Ejemplo 1.2. Con épsilon, delta
Ejemplo 1.3. Aplicación de la definición ε−δ de límite
Ejercicios 1.2. Determinación de límites mediante ε−δ
1.2.2. Leyes de los límites
Teorema 1.1: Límites básicos
Ejemplo 1.4. Evaluación de límites básicos utilizando los teoremas anteriores
Teorema 1.2: Propiedades de los límites
Ejemplo 1.5. Límite de un polinomio
Teorema 1.3: Límites de las funciones polinomiales y racionales
Ejemplo 1.6. Límite de una función racional
Teorema 1.4: Límites de una función radical
Teorema 1.5: Límites de una función compuesta
Ejercicios 1.3. Límites de polinomios y radicales
1.2.3. Determinación algebraica del límite
Teorema 1.6: Funciones que coinciden en todo, salvo en un punto
Ejemplo 1.7. Límites racionales con indeterminación
Figura 1.3.
Figura 1.4.
Estrategias para el cálculo de límites
Técnica de cancelación y racionalización
Ejemplo 1.8. Técnica de cancelación (simplificación)
Figura 1.5.
Ejemplo 1.9. Racionalización
Figura 1.6.
Ejercicios 1.4. Límites con indeterminación
1.2.4. Límites trigonométricos
Teorema 1.7: Propiedades de los límites trigonométricos
Dos límites trigonométricos especiales
Ejemplo 1.10. Límites trigonométricos
Ejemplo 1.11. Límites trigonométricos
Ejemplo 1.12. Límites trigonométricos
Ejemplo 1.13. Límites trigonométricos
Ejemplo 1.14. Límites trigonométricos
Ejemplo 1.15. Límites trigonométricos
Ejemplo 1.16. Límites trigonométricos
Ejemplo 1.17. Límites trigonométricos
Ejercicios 1.5. Límites trigonométricos
1.2.5. Límites unilaterales
Ejemplo 1.18. Límites unilaterales
Figura 1.7.
Ejemplo 1.19. Límites unilaterales
Figura 1.8a).
Figura 1.8b).
Figura 1.8c).
Ejercicios 1.6. Límites unilaterales
1.2.6. Límites infinitos y asíntotas verticales
Tabla 1.3: Valores cuando x se acerca por la izquierda a cero.
Tabla 1.4: Valores cuando x se acerca por la derecha a cero.
Figura 1.9.
Definición de límite infinito
Ejemplo 1.20. Límites infinitos
Tabla 1.5: Valores del numerador, denominador y la función f(x)=1x cuando la variable independiente se acerca a cero por la izquierda.
Tabla 1.6: Valores del numerador, denominador y la función f(x)=1x, cuando la variable independiente se acerca a cero por la derecha.
Figura 1.10.
Ejemplo 1.21. Límites infinitos
Tabla 1.7: Tabulación de valores para la función f(x)=x−3×2−9, x→−3−.
Tabla 1.8: Tabulación de valores para la función f(x)=x−3×2−9 cuando x se acerca a −3 por la derecha.
Figura 1.11.
Ejemplo 1.22. Límites infinitos
Tabla 1.9: Valores del numerador, denominador y la función f(x)=x−3(x−1)2, cuando la variable independiente se acerca a 1 por la izquierda.
Tabla 1.10: Valores del numerador, denominador y la función f(x)=x−3(x−1)2, cuando la variable independiente se acerca a 1 por la derecha.
Figura 1.12.
Ejercicios 1.7. Límites infinitos
Asíntotas verticales
Ejemplo 1.23. Asíntotas verticales
Figura 1.13.
Ejemplo 1.24. Asíntotas verticales
Figura 1.14.
Ejercicios 1.8. Asíntotas verticales
1.2.7. Límites en el infinito y asíntotas horizontales
Tabla 1.11: a) y b). Valores de f(x) para cuando la variable independiente toma valores muy grandes, positivos y negativos, respectivamente.
Teorema 1.8
Ejemplo 1.25. Límites en el infinito
Ejemplo 1.26. Límites en el infinito
Ejercicios 1.9. Límites en el infinito
Asíntotas horizontales
Caso I
Ejemplo 1.27. Muestra de asíntota horizontal
Figura 1.15.
Figura 1.16.
Caso II
Ejemplo 1.28. Asíntota horizontal diferente al eje de las abscisas
Figura 1.17
Ejemplo 1.29. Asíntotas horizontales
Figura 1.18.
Ejercicios 1.10. Asíntotas horizontales
1.2.8. Límites infinitos en el infinito
Ejemplo 1.30. Límites infinitos en el infinito
Ejemplo 1.31. Límite infinito en el infinito
Ejercicios 1.11. Límites infinitos en el infinito
1.2.9. Asíntotas oblicuas
Ejemplo 1.32. Asíntotas oblicuas
Figura 1.19
Ejemplo 1.33. Asíntotas oblicuas
Figura 1.20.
Ejemplo 1.34. Asíntota oblicua
Figura 1.21.
Ejemplo 1.35. Asíntota oblicua
Figura 1.22.
Ejercicios 1.12. Asíntota oblicua
1.3. Continuidad
1.3.1. Idea intuitiva de continuidad
1.3.2. Continuidad en un punto
Figura 1.23.
Figura 1.24
Figura 1.25
Ejemplo 1.36. Continuidad
Figura 1.26.
Ejemplo 1.37. Continuidad
Figura 1.27.
Ejemplo 1.38. Continuidad
Figura 1.28.
Ejemplo 1.39. Continuidad
Figura 1.29a).
Figura 1.29b).
Ejemplo 1.40. Continuidad
Figura 1.30.
Ejemplo 1.41. Continuidad
Figura 1.31.
Ejemplo 1.42. Continuidad
Figura 1.32.
Ejercicios 1.13. Continuidad
1.4. Derivada
Figura 1.33a).
Figura 1.33b).
Figura 1.34a).
Figura 1.34b).
1.4.1. El problema de la tangente y la velocidad
Figura 1.35.
Figura 1.36.
Figura 1.37.
Figura 1.38.
Figura 1.39.
Figura 1.40.
Ejemplo 1.43. De recta tangente
Figura 1.41.
1.4.2. Definición de la derivada
Ejemplo 1.44. Derivada por definición
Ejemplo 1.45. Derivada por definición
Ejemplo 1.46. Derivada por definición
Ejercicios 1.14. Derivada por definición
Capítulo 2: La derivada y sus aplicaciones
Sumario
Introducción
2.1. Teoremas de derivación
Teorema 2.1: Derivadas de funciones algebraicas
Teorema 2.2: Derivación básica
2.1.1. Derivadas de funciones algebraicas
Ejemplo 2.1. Derivadas de funciones algebraicas
Ejemplo 2.2. Derivadas de funciones algebraicas
Ejemplo 2.3. Derivadas por teoremas o fórmulas
2.1.2. Derivadas de polinomios
Teorema 2.3: Derivadas de polinomios
Ejemplo 2.4. Derivada de un polinomio de grado tres
Ejemplo 2.5. Derivada de un polinomio de grado n
Teorema 2.4: Derivadas de funciones compuestas
Ejemplo 2.6. Derivadas de funciones compuestas
Ejemplo 2.7. Derivadas de funciones compuestas
Ejemplo 2.8. Derivadas de funciones compuestas
Ejercicios 2.1. Derivadas de funciones algebraicas
2.1.3. Derivadas de funciones trigonométricas
Teorema 2.5: Derivadas de funciones trigonométricas
Ejemplo 2.9. Derivadas de funciones trigonométricas
Ejemplo 2.10. Derivadas de funciones trigonométricas
Ejemplo 2.11. Derivadas de funciones trigonométricas
Ejemplo 2.12. Derivadas de funciones trigonométricas
Ejemplo 2.13. Derivadas de funciones trigonométricas
Ejemplo 2.14. Derivadas de funciones trigonométricas
Ejemplo 2.15. Derivadas de funciones trigonométricas
Ejemplo 2.16. Derivadas de funciones trigonométricas
Ejemplo 2.17. Derivadas de funciones trigonométricas
Ejemplo 2.18. Derivadas de funciones trigonométricas
Ejemplo 2.19. Derivadas de funciones trigonométricas
Ejemplo 2.20. Derivadas de funciones trigonométricas
Ejemplo 2.21. Derivadas de funciones trigonométricas
Ejercicios 2.2. Derivadas de funciones trigonométricas
2.1.4. Derivadas de funciones trascendentales
Función logaritmo natural
Definición de la función logaritmo natural
Figura 2.1.
Teorema 2.6: Propiedades de la función logaritmo natural
Teorema 2.7: Propiedades de los logaritmos
Teorema 2.8: Derivada de la función logaritmo natural
Ejemplo 2.22. Derivadas de funciones logarítmicas
Ejercicios 2.3. Derivadas de funciones logarítmicas
Función exponencial natural
Definición de la función exponencial natural
Teorema 2.9: Operaciones con funciones exponenciales
Propiedades de la función exponencial
Derivadas de las funciones exponenciales
Teorema 2.10: Derivadas de las funciones exponenciales naturales
Ejemplo 2.23. Derivadas de funciones exponenciales
Ejemplo 2.24. Derivadas de funciones exponenciales
Ejemplo 2.25. Derivadas de funciones exponenciales
Ejemplo 2.26. Derivadas de funciones exponenciales
Ejemplo 2.27. Derivadas de funciones exponenciales
Ejercicios 2.4. Derivadas de funciones exponenciales
2.1.5. Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Teorema 2.11: Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Ejemplo 2.28. Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Ejemplo 2.29. Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Ejemplo 2.30. Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Ejemplo 2.31. Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Ejemplo 2.32. Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Ejemplo 2.33. Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Ejercicios 2.5. Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Ejercicios 2.6. Derivadas de funciones exponenciales, trigonométricas y sus combinaciones
2.2. Regla de la cadena
Teorema 2.12: Derivadas de funciones compuestas
Ejemplo 2.34. Derivadas de funciones compuestas por la regla de la cadena
Ejemplo 2.35. Derivadas de funciones compuestas por la regla de la cadena
Ejemplo 2.36. Derivadas de funciones compuestas por la regla de la cadena
Ejemplo 2.37. Derivadas de funciones compuestas por la regla de la cadena
Ejemplo 2.38. Derivadas de funciones compuestas por la regla de la cadena
Ejercicios 2.7. Derivadas mediante la regla de la cadena o derivadas de funciones compuestas
2.2.1. Derivadas implícitas
Ejemplo 2.39. Derivadas implícitas
Ejemplo 2.40. Derivadas implícitas con aplicación geométrica
Ejemplo 2.41. Derivadas implícitas en funciones trascendentales
Ejemplo 2.42. Derivadas implícitas en funciones trascendentales
Ejemplo 2.43. Derivadas introduciendo logaritmos
Ejercicios 2.8. Derivadas implícitas
2.2.2. Derivadas de orden superior
Ejemplo 2.44. Derivadas de orden superior
Tabla 2.1: Fórmula de la k−ésima derivada para un par de funciones.
2.2.3. Teorema del valor medio
Teorema 2.13: Teorema del valor medio
Figura 2.2.
Ejemplo 2.45. Aplicaciones del teorema del valor medio
Ejemplo 2.46. Aplicaciones del teorema del valor medio
Ejercicios 2.9. Aplicaciones del teorema del valor medio
2.3. Aplicaciones de la derivada
Diferenciales
Definición de las aplicaciones de la derivada
Ejemplo 2.47. Diferenciales
Tabla 2.2: Comportamiento de las aproximaciones para diferentes valores de Δx.
Ejemplo 2.48. Diferenciales
Ejemplo 2.49. Diferenciales
Ejemplo 2.50. Diferenciales
Ejemplo 2.51. Diferenciales
Ejemplo 2.52. Diferenciales
Figura 2.3.
Ejercicios 2.10. Diferenciales
2.3.1. Problemas de razón de cambio
Ejemplo 2.53. Razón de cambio
Figura 2.4a).
Figura 2.4b)
Figura 2.5a)
Figura 2.5b)
Figura 2.5c)
Figura 2.6a).
Figura 2.6b).
Figura 2.6c).
Figura 2.7a).
Figura 2.7b).
Figura 2.7c).
Figura 2.8a).
Figura 2.8b).
Figura 2.8c).
Figura 2.9a).
Figura 2.9b).
Figura 2.9c).
Ejemplo 2.54. Razón de cambio
Ejercicios 2.11. Razón de cambio
Razones de cambio relacionadas
Ejemplo 2.55. Razones de cambio relacionadas
Ejemplo 2.56. Razones de cambio relacionadas
Figura 2.10.
Ejemplo 2.57. Razones de cambio relacionadas
Ejemplo 2.58. Razones de cambio relacionadas
Figura 2.11.
Ejemplo 2.59. Razones de cambio relacionadas
Figura 2.12.
Ejercicios 2.12. Razones de cambio relacionadas
2.3.2. Problemas de optimización
Ejemplo 2.60. Optimización (máximos y mínimos)
Figura 2.13.
Ejemplo 2.61. Optimización (máximos y mínimos)
Figura 2.14.
Ejemplo 2.62. Optimización (máximos y mínimos)
Ejemplo 2.63. Optimización (máximos y mínimos)
Ejemplo 2.64. Optimización (máximos y mínimos)
Figura 2.15.
Ejemplo 2.65. Optimización (máximos y mínimos)
Figura 2.16.
Ejemplo 2.66. Optimización (máximos y mínimos)
Ejemplo 2.67. Optimización (máximos y mínimos)
Figura 2.17.
Ejemplo 2.68. Optimización (máximos y mínimos)
Ejemplo 2.69. Optimización (máximos y mínimos)
Figura 2.18.
2.3.3. Regla de L’Hôpital
Teorema 2.14: Regla de L’Hôpital
Ejemplo 2.70. Regla de L’Hôpital
Ejemplo 2.71. Regla de L’Hôpital
Ejemplo 2.72. Regla de L’Hôpital
Ejemplo 2.73. Regla de L’Hôpital
Ejemplo 2.74. Regla de L’Hôpital con indeterminación de la forma ∞∞
Ejemplo 2.75. Regla de L’Hôpital
Ejemplo 2.76. Regla de L’Hôpital
Uso iterado de la regla de L’Hôpital
Ejemplo 2.77. Regla de L’Hôpital
Ejemplo 2.78. Regla de L’Hôpital
Ejemplo 2.79. Regla de L’Hôpital
Ejemplo 2.80. Regla de L’Hôpital
Ejercicios 2.13. Regla de L’Hôpital
2.3.4. Análisis de una función
Ejemplo 2.81. Análisis de una función
Tabla 2.3: Resumen de la monotonía del ejemplo 2.81.
Tabla 2.4: Resumen de concavidad del ejemplo 2.81.
Figura 2.19.
Ejemplo 2.82. Análisis de una función
Tabla 2.5: Resumen de la monotonía del ejemplo 2.82.
Tabla 2.6: Resumen de la concavidad del ejemplo 2.82.
Figura 2.20.
Ejemplo 2.83. Análisis de una función
Tabla 2.7: Resumen de la monotonía del ejemplo 2.83.
Tabla 2.8: Resumen de la concavidad del ejemplo 2.83.
Figura 2.21.
Ejemplo 2.84. Análisis de una función
Tabla 2.9: Resumen de la monotonía del ejemplo 2.84.
Tabla 2.10: Resumen de la concavidad del ejemplo 2.84.
Figura 2.22.
Ejemplo 2.85. Análisis de una función
Tabla 2.11: Resumen de la monotonía del ejemplo 2.85.
Tabla 2.12: Resumen de la concavidad del ejemplo 2.85.
Figura 2.23.
Ejercicios 2.14. Análisis de una función
2.3.5. Método de Newton-Raphson
Ejemplo 2.86. Cálculo de raíces o sus aproximaciones mediante el método de Newton-Raphson
Figura 2.24.
Tabla 2.13: Resumen de valores del ejemplo 2.86.
Ejemplo 2.87. Cálculo de raíces o sus aproximaciones mediante el método de Newton-Raphson
Tabla 2.14: Resumen de valores del ejemplo 2.87.
Ejemplo 2.88. Cálculo de raíces o sus aproximaciones mediante el método de Newton-Raphson
Tabla 2.15: Resumen de valores del ejemplo 2.88.
Ejemplo 2.89. Cálculo de raíces o sus aproximaciones mediante el método de Newton-Raphson
Tabla 2.16: Resumen de valores del ejemplo 2.89.
Ejercicios 2.15. Cálculo de raíces o sus aproximaciones mediante el método de Newton-Raphson
2.4. Definición de antiderivada o primitiva
Definición de antiderivada o primitiva
Figura 2.A
Figura 2.B
Tabla 2.17: Tabla de algunas funciones y sus primitivas.
Teorema 2.15
Figura 2.25.
Tabla 2.18: Tabla con funciones y sus antiderivadas de uso frecuente.
Ejemplo 2.90. Antiderivadas
Ejercicios 2.16. Antiderivadas
Capítulo 3: La integral y sus aplicaciones
Sumario
Introducción
3.1. Teorema fundamental del cálculo
Teorema 3.1: Primer teorema fundamental de cálculo
Definición de antiderivada
3.1.1. Reglas básicas de integración
Definición de antiderivada
Ejemplo 3.1. Antiderivada
Figura 3.1.
Ejemplo 3.2. Antiderivadas generales
Figura 3.2.
Figura 3.3.
3.1.2. Notación de la integral indefinida
Teorema 3.2: Las antiderivadas difieren por una constante
Demostración
Ejemplo 3.3. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.4. Integrales inmediatas
Tabla 3.1: Reglas básicas de integración.
Ejemplo 3.5. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.6. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.7. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.8. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.9. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.10. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.11. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.12. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.13. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.14. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.15. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.16. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.17. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.18. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.19. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.20. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.21. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.22. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.23. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.24. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.25. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.26. Integrales inmediatas
Ejemplo 3.27. Integrales inmediatas trigonométricas
Ejemplo 3.28. Integrales inmediatas trigonométricas
Ejemplo 3.29. Integrales inmediatas trigonométricas
Ejemplo 3.30. Integrales inmediatas trigonométricas
Ejercicios 3.1. Integrales inmediatas
3.1.3. Definición de la integral definida
Figura 3.4
Diferencial del área bajo la curva
Teorema 3.3: Segundo teorema fundamental del cálculo
Ejemplos 3.31. Cálculo de una integral indefinida
Ejemplo 3.32. Integrales definidas
Ejemplo 3.33. Integrales definidas
Ejemplo 3.34. Integrales definidas
Ejemplo 3.35. Integrales definidas
Ejercicios 3.2. Integrales definidas
3.2. Integrales impropias
3.2.1. Límites infinitos
Ejemplo 3.36. Límites infinitos
Figura 3.5.
Ejemplo 3.37. Límites infinitos
Figura 3.6.
Ejemplo 3.38. Límites infinitos
Figura 3.7.
3.2.2. Integrales impropias
Ejemplo 3.39. Integrales impropias
Ejemplo 3.40. Integrales impropias
Ejemplo 3.41. Integrales impropias
Ejemplo 3.42. Integrales impropias
Ejercicios 3.3. Integrales impropias
3.2.3. Integración por sustitución y cambio de variable
Pasos para integrar por cambio de variable
Ejemplo 3.43. Integración mediante cambio de variable
Ejemplo 3.44. Integración mediante cambio de variable
Ejemplo 3.45. Integración mediante cambio de variable
Ejemplo 3.46. Integración mediante cambio de variable
Ejemplo 3.47. Integración mediante cambio de variable
Ejemplo 3.48. Integración mediante cambio de variable
Ejemplo 3.49. Integración mediante cambio de variable
Ejemplo 3.50. Integración mediante cambio de variable
Ejemplo 3.51. Integración mediante cambio de variable
Ejemplo 3.52. Integración mediante cambio de variable
Ejemplo 3.53. Integrales por cambio de variable
Ejercicios 3.4: Integrales mediante cambio de variable.
Ejemplo 3.54. Integración mediante cambio de variable
Ejemplo 3.55. Integración mediante cambio de variable
Ejemplo 3.56. Integración mediante cambio de variable
Ejemplo 3.57. Integración mediante cambio de variable
Ejercicios 3.5: Integrales mediante cambio de variable
3.2.4. Integración de funciones exponenciales, logarítmicas y algebraicas
Función exponencial
Teorema 3.4: Reglas de integración para funciones exponenciales
Ejemplo 3.58. Integración de funciones exponenciales
Ejemplo 3.59. Integración de funciones exponenciales
Ejercicios 3.6. Integración de funciones exponenciales
Función logaritmo natural
Teorema 3.5: Reglas de integración para la función logaritmo natural
Ejemplo 3.60. Uso de la regla del logaritmo para integración
Ejemplo 3.61. Regla del logaritmo para integración
Ejemplo 3.62. Cálculo de áreas con la regla del logaritmo
Ejercicios 3.7. Regla del logaritmo para integración
Ejemplo 3.63. División larga antes de integrar
Ejemplo 3.64. Cambio de variable con la regla del logaritmo
Ejemplo 3.65. Obtención de la fórmula de la secante
Ejercicios 3.8. Función logaritmo natural
3.2.5. Integrales de diferenciales de funciones trigonométricas inversas y de estructura similar
Teorema 3.6
Ejemplo 3.66. Integrales de diferenciales de funciones trigonométricas inversas y de estructura similar
Ejemplo 3.67. Integrales de diferenciales de funciones trigonométricas inversas y de estructura similar
Ejemplo 3.68. Integrales de diferenciales de funciones trigonométricas inversas y de estructura similar
Ejemplo 3.69. Integrales de diferenciales de funciones trigonométricas inversas y de estructura similar
Ejemplo 3.70. Integrales de diferenciales de funciones trigonométricas inversas y de estructura similar
Ejemplo 3.71. Integrales de diferenciales de funciones trigonométricas inversas y de estructura similar
Ejemplo 3.72. Integrales de diferenciales de funciones trigonométricas inversas y de estructura similar
Ejemplo 3.73. Integrales de diferenciales de funciones trigonométricas inversas y de estructura similar
Ejemplo 3.74. Integrales de diferenciales de funciones trigonométricas inversas y de estructura similar
Ejemplo 3.75. Integrales de diferenciales de funciones trigonométricas inversas y de estructura similar
3.2.6. Integración al completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP)
Ejemplo 3.76. Integrales completando el TCP
Ejemplo 3.77. Integrales completando el TCP
Ejemplo 3.78. Integrales completando el trinomio cuadrado perfecto
Ejemplo 3.79. Integrales completando el trinomio cuadrado perfecto
Ejemplo 3.80. Integrales completando el trinomio cuadrado perfecto
Ejemplo 3.81. Integrales completando el TCP
Ejemplo 3.82. Integrales completando el TCP
Ejercicios 3.9. Integrales con fórmula, completando el TCP
3.3. Técnicas de integración
3.3.1. Integración por partes
Caso I
Ejemplo 3.83. Integración por partes
Ejemplo 3.84. Integración por partes
Ejemplo 3.85. Integración por partes
Ejemplo 3.86. Integración por partes
Ejemplo 3.87. Integración por partes
Ejemplo 3.88. Integración por partes
Ejemplo 3.89. Integración por partes
Ejemplo 3.90. Integración por partes
Ejemplo 3.91. Integración por partes
Caso II
Ejemplo 3.92. Integración por partes
Ejemplo 3.93. Integración por partes
Ejemplo 3.94. Integración por partes
Ejemplo 3.95. Integración por partes
Ejemplo 3.96. Integración por partes
Caso III
Ejemplo 3.97. Integración por partes
Ejemplo 3.98. Integración por partes
Ejemplo 3.99. Integración por partes
Ejercicios 3.10. Integración por partes
3.3.2. Integración de potencias de funciones trigonométricas
Es importante recordar las siguientes propiedades trigonométricas
Integrales de la forma ∫senm(x)dx o ∫cosm(x)dx
Ejemplo 3.100. Integrales de potencias de seno y coseno
Ejemplo 3.101. Integrales de potencias de seno y coseno
Ejemplo 3.102. Integrales de potencias de seno y coseno
Ejercicios 3.11. Integrales de potencias de seno y coseno
Integrales de la forma ∫senn(x)dx o ∫cosn(x)dx
Ejemplo 3.103. Integrales de potencias de seno y coseno
Ejemplo 3.104. Integrales de potencias de seno y coseno
Ejemplo 3.105. Integrales de potencias de seno y coseno
Ejemplo 3.106. Integrales de potencias de seno y coseno
Integrales de la forma ∫senn(x)·cosm(x)dx
Ejemplo 3.107. Integrales de potencias de seno y coseno
Ejemplo 3.108. Integrales de potencias de seno y coseno
Ejemplo 3.109. Integrales de potencias de seno y coseno
Integrales de la forma ∫senm(x)·cosn(x)dx
Ejemplo 3.110. Integrales de potencias de seno y coseno
Ejemplo 3.111. Integrales de potencias de seno y coseno
Ejemplo 3.112. Integrales de potencias de seno y coseno
Ejercicios 3.12. Integrales de potencias de seno y coseno
Integrales de la forma ∫tanmx dx o ∫cotmx dx
Ejemplo 3.113. Integrales de producto de potencias de tangente y secante
Ejemplo 3.114. Integrales de producto de potencias de tangente y secante
Ejemplo 3.115. Integrales de producto de potencias de tangente y secante
Ejemplo 3.116. Integrales de producto de potencias de tangente y secante
Integrales de la forma ∫secnx dx o ∫cscnx dx
Ejemplo 3.117. Integrales de producto de potencias de tangente y secante
Ejemplo 3.118. Integrales de producto de potencias de tangente y secante
Integrales de la forma ∫tanmx⋅secnx dx o ∫coymx⋅cscnx dx
Ejemplo 3.119. Integrales de producto de potencias de tangente y secante
Ejemplo 3.120. Integrales de producto de potencias de cotangente y cosecante
Ejemplo 3.121. Integrales de producto de potencias de cotangente y cosecante
Ejemplo 3.122. Integrales de producto de potencias de tangente y secante
Ejemplo 3.123. Integrales de producto de potencias de tangente y secante
Ejemplo 3.124. Integrales de producto de potencias de cotangente y cosecante
Integrales de la forma ∫tanmx·secnx dxo∫cotmx·cscnxdx
Ejemplo 3.125. Integrales de producto de potencias de tangente y secante
Ejemplo 3.126. Integrales de producto de potencias de tangente y secante
Ejemplo 3.127. Integrales de producto de potencias de cotangente y cosecante
Ejemplo 3.128. Integrales de producto de potencias de cotangente y cosecante
Ejemplo 3.129. Integrales de producto de potencias de cotangente y cosecante
Ejemplo 3.130. Integrales de producto de potencias de tangente y secante
Ejemplo 3.131. Integrales de producto de potencias de tangente y secante
Ejercicios 3.13. Integrales de producto de potencias de funciones trigonométricas
3.3.3. Integración por sustitución trigonométrica
Sustitución trigonométrica (a∈ ℤ+)
Ejemplo 3.132. Sustitución trigonométrica: u = a sen θ
Ejemplo 3.133. Sustitución trigonométrica: u = a tan θ
Ejemplo 3.134. Sustitución trigonométrica: potencias racionales
Ejemplo 3.135. Transformación de los límites de integración
Teorema 3.7: Fórmulas especiales de integración (a > 0)
Ejercicios 3.14. Integración mediante sustitución trigonométrica
3.3.4. Integración por descomposición en fracciones parciales
Caso I
Ejemplo 3.136. Integrales mediante descomposición en fracciones parciales
Ejemplo 3.137. Integrales mediante descomposición en fracciones parciales
Otro método para determinar las constantes
Ejemplo 3.138. Integrales mediante descomposición en fracciones parciales
Caso II
Ejemplo 3.139. Integrales mediante descomposición en fracciones parciales
Ejemplo 3.140. Integrales mediante descomposición en fracciones parciales
Caso III
Ejemplo 3.141. Integrales mediante descomposición en fracciones parciales
Caso IV
Ejemplo 3.142. Integrales mediante descomposición en fracciones parciales
3.4. Aplicaciones de la integral
3.4.1. Integración numérica
Ejemplo 3.143. Integración numérica
3.4.2. Regla del trapecio y de Newton-Cotes
Figura 3.8.
Teorema 3.8
Figura 3.9.
Teorema 3.9
Teorema 3.10
Ejemplo 3.144. Integración numérica
Ejemplo 3.145. Integración numérica
Ejercicios 3.15. Integración numérica
3.4.3. Área entre curvas, longitud de curva
Figura 3.10.
Teorema 3.11
Ejemplo 3.146. Área entre funciones
Figura 3.11.
Área de una región entre curvas que se intersecan
Ejemplo 3.147. Área de una región entre curvas que se intersecan
Figura 3.12.
Figura 3.13.
Ejemplo 3.148. Área de una región entre curvas que se intersecan
Figura 3.14.
Curvas que se intersecan en más de dos puntos
Ejemplo 3.149. Área entre curvas que se intersecan en más de dos puntos
Figura 3.15.
Longitud de curva
Figura 3.16.
Definición de longitud de arco
Ejemplo 3.150. Longitud de curva
Ejemplo 3.151. Longitud de curva
Ejemplo 3.152. Longitud de curva
Ejemplo 3.153. Longitud de curva
Ejercicios 3.16. Aplicaciones geométricas de las integrales (áreas y longitudes de curva o arco)
3.4.4. Volúmenes de revolución
Método de los discos
Figura 3.17.
Figura 3.18.
Ejemplo 3.154. Volumen de revolución
Figura 3.19.
Ejemplo 3.155. Volumen de revolución
Figura 3.20.
Ejemplo 3.156. Volumen de revolución
Figura 3.21.
Ejercicios 3.17. Volumen de revolución
3.4.5. Problemas de ingeniería química para determinar el trabajo, el calor o la cinética
Ejemplo 3.157. Cálculo de trabajo de compresión o expansión en sistemas ideales
Figura 3.22.
Ejercicio 3.18. Aplicación del cálculo integral
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