Álgebra lineal

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Descripción:
Anteriormente el estudio del álgebra lineal era parte de los planes de estudios de los alumnos
de matemáticas y física, principalmente, y también recurrían a ella aquellos que necesitaban
conocimientos de la teoría de matrices para trabajar en áreas técnicas como la estadística multivariable.
Hoy en día, el álgebra lineal se estudia en diversas disciplinas gracias al uso de las
computadoras y al aumento general en las aplicaciones de las matemáticas en áreas que, por
tradición, no son técnicas.

Tabla de contenidos:

Front Matter
   Dedicatoria
   Prefacio
   Prerrequisitos
   Aplicaciones
   Teoría
   Características
   Examen diagnóstico
   Ejemplos
   Ejercicios
   Teorema de resumen
   Autoevaluación
   Manejo de calculadora
   Resúmenes de secciones
   Geometría
   Semblanzas históricas
   Características nuevas de la séptima edición
   MATLAB®
   Numeración
   Organización
   Materiales de apoyo
   Agradecimientos
   Agradecimientos
   Examen diagnóstico
Capítulo 1: Sistemas de ecuaciones lineales
   Objetivos del capítulo
   Figura 1.1
   1.1: Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
   Nota
   EJEMPLO 1.1.1: Sistema con una solución única
   EJEMPLO 1.1.2: Sistema con un número infinito de soluciones
   EJEMPLO 1.1.3: Sistema sin solución
   Figura 1.2
   Teorema 1.1.1: Teorema de resumen (punto de vista 1)
   AutoevaluaciÓn 1.1
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 1.1
   Figura 1.3
   1.2: m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
   EJEMPLO 1.2.1: Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: solución única
   Nota
   Operaciones elementales por renglones
   Operaciones elementales por renglones
   Notación
   Matrices aumentadas equivalentes
   EJEMPLO 1.2.2: Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: número infinito de soluciones
   EJEMPLO 1.2.3: Sistema inconsistente
   Definición 1.2.1: Sistemas inconsistentes y consistentes
   Definición 1.2.2: Forma escalonada reducida por renglones y pivote
   Nota
   EJEMPLO 1.2.4: Cinco matrices en la forma escalonada reducida por renglones
   Definición 1.2.3: Forma escalonada por renglones
   EJEMPLO 1.2.5: Cinco matrices en la forma escalonada por renglones
   Nota
   Observación 1
   Observación 2
   EJEMPLO 1.2.6: Solución de un sistema mediante eliminación gaussiana
   EJEMPLO 1.2.7: Solución de un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas
   EJEMPLO 1.2.8: Un problema de administración de recursos
   Nota
   Análisis de insumo y producto (opcional)
   EJEMPLO 1.2.9: El modelo de insumo-producto de Leontief
   EJEMPLO 1.2.10: El modelo de Leontief aplicado a un sistema económico con tres industrias
   La geometría de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (opcional)
   Figura 1.4
   Figura 1.5
   Figura 1.6
   Figura 1.7
   Figura 1.8
   Semblanza de Carl Friedrich Gauss, 1777-1855
   Resumen 1.2
   AutoevaluaciÓn 1.2
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 1.2
   Problemas 1.2
   1.3: Introducción a MATLAB
   Ejemplos de comandos básicos de MATLAB
   Otras características usuales
   EJEMPLO 1.3.1
   EJEMPLO 1.3.2:
   Tutoría de MATLAB
   Ejercicios con MATLAB 1.3
   Nota
   EJEMPLO 1.3.3
   1.4: Sistemas homogéneos de ecuaciones
   EJEMPLO 1.4.1: Sistema homogéneo que tiene únicamente la solución trivial
   EJEMPLO 1.4.2: Un sistema homogéneo con un número infinito de soluciones
   EJEMPLO 1.4.3: Un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene un número infinito de soluciones
   Teorema 1.4.1: Sistemas homogéneos: condición para tener un número infinito de soluciones
   Resumen 1.4
   AutoevaluaciÓn 1.4
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 1.4
   Ejercicios con MATLAB 1.4
Capítulo 2: Vectores y matrices
   Objetivos del capítulo
   2.1: Definiciones generales
   Definición 2.1.1: Vector renglón de n componentes
   Definición 2.1.2: Vector columna de n componentes
   EJEMPLO 2.1.1: Cuatro vectores
   Advertencia
   Observación
   Definición 2.1.3: El símbolo ℝn
   Definición 2.1.4: El símbolo ℂn
   Definición 2.1.5: Matriz
   EJEMPLO 2.1.2: Cinco matrices
   Nota histórica
   EJEMPLO 2.1.3: Localización de las componentes de una matriz
   Definición 2.1.6: Igualdad de matrices
   EJEMPLO 2.1.4: Matrices iguales y matrices distintas
   Nota
   Definición 2.1.7: Suma de matrices
   Advertencia
   EJEMPLO 2.1.5: Suma de dos matrices
   Definición 2.1.8: Multiplicación de una matriz por un escalar
   Nota histórica
   EJEMPLO 2.1.6: Múltiplos escalares de matrices
   EJEMPLO 2.1.7: Suma de múltiplos escalares de dos vectores
   Teorema 2.1.1
   Nota
   EJEMPLO 2.1.8: Ilustración de la ley asociativa para la suma de matrices
   Semblanza de… Sir William Rowan Hamilton, 1805-1865
   Resumen 2.1
   AutoevaluaciÓn 2.1
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 2.1
   Problemas 2.1
   Figura 2.1
   Figura 2.2
   Ejercicios con MATLAB 2.1
   2.2: Productos vectorial y matricial
   EJEMPLO 2.2.1: Producto de un vector de demanda y un vector de precios
   Nota
   Definición 2.2.1: Producto escalar
   Advertencia
   EJEMPLO 2.2.2: Producto escalar de dos vectores
   EJEMPLO 2.2.3: Producto escalar de dos vectores
   Teorema 2.2.1
   Definición 2.2.2: Producto de dos matrices
   Advertencia
   EJEMPLO 2.2.4: Producto de dos matrices de 2 × 2
   Observación
   EJEMPLO 2.2.5: El producto de una matriz de 2 × 3 y una de 3 × 4 está definido pero el producto de una matriz 3 × 4 y una de 2 × 3 no lo está
   EJEMPLO 2.2.6: Contacto directo e indirecto con una enfermedad contagiosa
   Teorema 2.2.2: Ley asociativa de la multiplicación de matrices
   Teorema 2.2.3: Leyes distributivas de la multiplicación de matrices
   Multiplicación de matrices como una combinación lineal de las columnas de A
   Nota
   EJEMPLO 2.2.7: Cómo escribir las columnas de AB como combinación lineal de las columnas de A
   Multiplicación de matrices por bloques
   EJEMPLO 2.2.8: Multiplicación por bloques
   EJEMPLO 2.2.9: Dos matrices que son conmutativas
   Aplicación: cadena de Markov
   Nota
   La notación con Σ
   EJEMPLO 2.2.10: Interpretación de la notación de sumatoria
   EJEMPLO 2.2.11: Interpretación de la notación de sumatoria
   EJEMPLO 2.2.12: Interpretación de la notación de sumatoria
   Nota
   EJEMPLO 2.2.13: Cómo escribir una suma usando la notación de sumatoria
   EJEMPLO 2.2.14: Cómo escribir el producto escalar haciendo uso de la notación de sumatoria
   Teorema 2.2.4: Propiedades de la notación de sumatoria
   Demostración: Ley asociativa del teorema 2.2.2
   Semblanza de… Arthur Cayley y el álgebra de matrices
   Demostración: Leyes distributivas del teorema 2.2.3
   Resumen 2.2
   AutoevaluaciÓn 2.2
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 2.2
   Problemas 2.2
   Ejercicios con MATLAB 2.2
   Información de MATLAB
   2.3: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
   EJEMPLO 2.3.1: Cómo escribir un sistema mediante su representación matricial
   Nota
   Teorema 2.3.1
   Corolario
   Observación
   EJEMPLO 2.3.2: Cómo escribir un número infinito de soluciones como una solución particular a un sistema no homogéneo más las soluciones al sistema homogéneo
   Resumen 2.3
   AutoevaluaciÓn 2.3
   Respuesta a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 2.3
   Problemas 2.3
   Ejercicios con MATLAB 2.3
   Nota
   2.4: Inversa de una matriz cuadrada
   Definición 2.4.1: Matriz identidad
   Nota
   EJEMPLO 2.4.1: Dos matrices identidad
   Teorema 2.4.1
   Nota
   Definición 2.4.2: La inversa de una matriz
   Observación 1
   Observación 2
   Teorema 2.4.2
   Teorema 2.4.3
   Nota
   Teorema 2.4.4: Solución de sistemas de ecuaciones lineales en términos de su matriz inversa
   EJEMPLO 2.4.2: Cálculo de la inversa de una matriz de 2 × 2
   EJEMPLO 2.4.3: Una matriz de 2 × 2 que no es invertible
   Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
   Observación
   Nota
   Teorema 2.4.5
   EJEMPLO 2.4.4: Cálculo de la inversa de una matriz de 2 × 2
   EJEMPLO 2.4.5: Una matriz de 2 × 2 que no es invertible
   EJEMPLO 2.4.6: Cálculo de la inversa de una matriz de 3 × 3
   Advertencia
   EJEMPLO 2.4.7: Una matriz de 3 × 3 que no es invertible
   Observación
   Definición 2.4.3: Matrices equivalentes por renglones
   Teorema 2.4.6
   EJEMPLO 2.4.8: Uso de la inversa de una matriz para resolver un sistema de ecuaciones
   EJEMPLO 2.4.9: La tecnología y las matrices de Leontief: modelo de la economía estadounidense en 1958
   Tabla 2.1: Clasificación de la economía por vectores
   Tabla 2.2: Demandas internas en 1958 en la economía de Estados Unidos
   Tabla 2.3: Demandas externas sobre la economía de Estados Unidos en 1958 (en millones de dólares)
   Teorema 2.4.7: Teorema de resumen (punto de vista 2)
   Teorema 2.4.8
   Resumen 2.4
   AutoevaluaciÓn 2.4
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 2.4
   Problemas 2.4
   Ejercicios con MATLAB 2.4
   Información de MATLAB.
   2.5: Transpuesta de una matriz
   Definición 2.5.1: Transpuesta
   EJEMPLO 2.5.1: Obtención de las transpuestas de tres matrices
   Teorema 2.5.1
   Definición 2.5.2: Matriz simétrica
   EJEMPLO 2.5.2: Cuatro matrices simétricas
   Otra forma de escribir el producto escalar
   Resumen 2.5
   AutoevaluaciÓn 2.5
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 2.5
   Problemas 2.5
   Ejercicios con MATLAB 2.5
   Información de MATLAB.
   2.6: Matrices elementales y matrices inversas
   Definición 2.6.1: Matriz elemental
   Notación.
   EJEMPLO 2.6.1: Tres matrices elementales
   Teorema 2.6.1
   EJEMPLO 2.6.2: Operaciones elementales mediante la multiplicación por matrices elementales
   Tabla 2.4: Matrices elementales y sus inversas
   Teorema 2.6.2
   Nota
   Teorema 2.6.3
   EJEMPLO 2.6.3: Cómo escribir una matriz invertible como el producto de matrices elementales
   Teorema 2.6.4: Teorema de resumen (punto de vista 3)
   Definición 2.6.2: Matriz triangular superior y matriz triangular inferior
   EJEMPLO 2.6.4: Dos matrices triangulares superiores y dos matrices triangulares inferiores
   Nota
   Teorema 2.6.5
   EJEMPLO 2.6.5: Cómo escribir una matriz como el producto de matrices elementales y una matriz triangular superior
   Resumen 2.6
   AutoevaluaciÓn 2.6
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 2.6
   Ejercicios con MATLAB 2.6
   2.7: Factorizaciones LU de una matriz
   EJEMPLO 2.7.1: Encuentre una factorización LU de una matriz A
   Teorema 2.7.1: Propiedades de multiplicación de matrices triangulares
   Teorema 2.7.2: Teorema de la factorización LU
   Uso de la factorización LU para resolver un sistema de ecuaciones
   EJEMPLO 2.7.2: Uso de la factorización LU para resolver un sistema
   La factorización PA = LU
   EJEMPLO 2.7.3: Una factorización PA = LU
   Teorema 2.7.3: Factorización LUP
   Nota
   Solución de un sistema usando la factorización PA = LU
   EJEMPLO 2.7.4: Solución de un sistema usando la factorización PA = LU
   Teorema 2.7.4: Teorema de resumen (punto de vista 4)
   Una forma sencilla para encontrar la factorización LU de una matriz
   EJEMPLO 2.7.5: Un camino más sencillo para obtener la factorización LU
   Observación
   Advertencia
   Factorización LU para matrices singulares
   EJEMPLO 2.7.6: Cuando A no es invertible, la factorización LU puede no ser única
   Nota
   Factorización LU para matrices no cuadradas
   Teorema 2.7.5: Factorización LU para matrices no cuadradas
   EJEMPLO 2.7.7: Factorización LU de una matriz 4 × 3
   EJEMPLO 2.7.8: Factorización LU de una matriz 3 × 4
   Nota
   Una observación sobre las computadoras y la factorización LU
   Nota
   Resumen 2.7
   AutoevaluaciÓn 2.7
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 2.7
   Problemas 2.7
   Ejercicios con MATLAB 2.7
   2.8: Teoría de gráficas: una aplicación de matrices
   EJEMPLO 2.8.1: Representación de un sistema de comunicación mediante una gráfica
   Figura 2.3
   EJEMPLO 2.8.2: Representación matricial de una gráfica dirigida
   EJEMPLO 2.8.3: Representación matricial de dos gráficas dirigidas
   Figura 2.4
   EJEMPLO 2.8.4: Obtención de una gráfica a partir de su representación matricial
   Figura 2.5
   Observación
   EJEMPLO 2.8.5: Una gráfica dirigida que describe el dominio de un grupo
   Figura 2.6
   Figura 2.7
   Teorema 2.8.1
   Teorema 2.8.2
   EJEMPLO 2.8.6: Cálculo de cadenas mediante las potencias de la matriz de incidencia
   Nota
   Nota
   EJEMPLO 2.8.7: Dominio indirecto de un grupo
   Problemas 2.8
   Figura 2.8
   Ejercicios de repaso
Capítulo 3: Determinantes
   Objetivos del capítulo
   3.1: Definiciones
   Observación
   Definición 3.1.1: Determinante de 3 × 3
   Nota
   EJEMPLO 3.1.1: Cálculo de un determinante de 3 × 3
   EJEMPLO 3.1.2: Cálculo de un determinante de 3 × 3
   EJEMPLO 3.1.3: Cálculo de un determinante de 3 × 3 usando el nuevo método
   Advertencia
   Definición 3.1.2: Menor
   EJEMPLO 3.1.4: Cálculo de dos menores de una matriz de 3 × 3
   EJEMPLO 3.1.5: Cálculo de dos menores de una matriz de 4 × 4
   Definición 3.1.3: Cofactor
   EJEMPLO 3.1.6: Cálculo de dos cofactores de una matriz de 4 × 4
   Observación
   Definición 3.1.4: Determinante n × n
   Observación
   EJEMPLO 3.1.7: Cálculo del determinante de una matriz de 4 × 4
   Definición 3.1.5: Matriz triangular
   EJEMPLO 3.1.8: Seis matrices triangulares
   EJEMPLO 3.1.9: El determinante de una matriz triangular inferior
   Teorema 3.1.1
   EJEMPLO 3.1.10: Determinantes de seis matrices triangulares
   Teorema 3.1.2
   Interpretación geométrica del determinante de 2 × 2
   Figura 3.1
   Teorema 3.1.3
   Resumen 3.1
   AutoevaluaciÓn 3.1
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 3.1
   Problemas 3.1
   Ejercicios con MATLAB 3.1
   Información de MATLAB
   3.2: Propiedades de los determinantes
   Teorema 3.2.1
   Observación
   EJEMPLO 3.2.1: Ilustración de la propiedad det AB = det A det B
   Advertencia
   Teorema 3.2.2
   EJEMPLO 3.2.2: Uso de la factorización LU para calcular el determinante de una matriz de 4 × 4
   Teorema 3.2.3
   EJEMPLO 3.2.3: Uso de la factorización PA = LU para calcular el determinante de una matriz de 3 × 3
   Teorema 3.2.4: det A = det A
   EJEMPLO 3.2.4: Una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante
   Observación
   Teorema 3.2.5: Teorema básico
   EJEMPLO 3.2.5: Obtención del determinante expandiendo en el segundo renglón o la tercera columna
   Propiedad 3.2.1
   EJEMPLO 3.2.6: Si A tiene un renglón o columna de ceros, entonces det A = 0
   Propiedad 3.2.2
   EJEMPLO 3.2.7: Ilustración de la propiedad 3.2.2
   Observación
   Propiedad 3.2.3
   EJEMPLO 3.2.8: Ilustración de la propiedad 3.2.3
   Propiedad 3.2.4
   EJEMPLO 3.2.9: Ilustración de la propiedad 3.2.4
   Propiedad 3.2.5
   EJEMPLO 3.2.10: Ilustración de la propiedad 3.2.5
   Propiedad 3.2.6
   EJEMPLO 3.2.11: Ilustración de la propiedad 3.2.6
   EJEMPLO 3.2.12: Otra ilustración de la propiedad 3.2.6
   Propiedad 3.2.7
   EJEMPLO 3.2.13: Ilustración de la propiedad 3.2.7
   EJEMPLO 3.2.14: Utilice las propiedades de los determinantes para calcular un determinante de 4 × 4
   EJEMPLO 3.2.15: Uso de las propiedades para calcular un determinante de 4 × 4
   EJEMPLO 3.2.16: Uso de las propiedades para calcular un determinante de 5 × 5
   Teorema 3.2.6
   Resumen 3.2
   AutoevaluaciÓn 3.2
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 3.2
   Ejercicios con MATLAB 3.2
   3.3: Determinantes e inversas
   Teorema 3.3.1
   Definición 3.3.1: La adjunta
   Observación
   EJEMPLO 3.3.1: Cálculo de la adjunta de una matriz de 3 × 3
   EJEMPLO 3.3.2: Cálculo de la adjunta de una matriz de 4 × 4
   EJEMPLO 3.3.3: La adjunta de una matriz de 2 × 2
   Advertencia
   Teorema 3.3.2
   Teorema 3.3.3
   Nota
   EJEMPLO 3.3.4: Uso del determinante y la adjunta para calcular la inversa
   EJEMPLO 3.3.5: Cálculo de la inversa de una matriz de 4 × 4 usando el determinante y la adjunta
   Teorema 3.3.4: Teorema de resumen (punto de vista 5)
   Resumen 3.3
   AutoevaluaciÓn 3.3
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 3.3
   Ejercicios con MATLAB 3.3
   3.4: Regla de Cramer
   Teorema 3.4.1: Regla de Cramer
   Nota histórica
   EJEMPLO 3.4.1: Solución de un sistema de 3 × 3 utilizando la regla de Cramer
   EJEMPLO 3.4.2: Solución de un sistema de 4 × 4 usando la regla de Cramer
   Resumen 3.4
   AutoevaluaciÓn 3.4
   Respuesta a la autoevaluación
   Problemas 3.4
   Figura 3.2
   Ejercicios con MATLAB 3.4
   3.5: Demostración de tres teoremas importantes y algo de historia
   Teorema 3.5.1: Teorema básico
   Lema 3.5.1
   Lema 3.5.2
   Teorema 3.5.2
   Semblanza de… Breve historia de los determinantes
   Teorema 3.5.3
   Problemas 3.5
   Ejercicios de repaso
Capítulo 4: Vectores en ℝ2 y ℝ3
   Objetivos del capítulo
   4.1: Vectores en el plano
   Figura 4.1
   Figura 4.2
   Observación
   Definición 4.1.1: Definición geométrica de un vector
   Figura 4.3
   Nota
   Observación
   Observación
   Observación
   Definición 4.1.2: Definición algebraica de un vector
   Figura 4.4
   EJEMPLO 4.1.1: Cálculo de la magnitud de seis vectores
   Nota
   EJEMPLO 4.1.2: Cálculo de las direcciones de seis vectores
   Figura 4.5
   Magnitud de av
   EJEMPLO 4.1.3: Multiplicación de un vector por un escalar
   Figura 4.6
   Figura 4.7
   Figura 4.8
   Figura 4.9
   Nota histórica
   Definición 4.1.3: Vector unitario
   EJEMPLO 4.1.4: Un vector unitario
   Figura 4.10
   EJEMPLO 4.1.5: Cóm escribir un vector unitario como (cos θ)i + (sen θ)j
   EJEMPLO 4.1.6: Cómo encontrar un vector unitario con la misma dirección que un vector dado diferente de cero
   Tabla 4.1
   Resumen 4.1
   AutoevaluaciÓn 4.1
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 4.1
   Problemas 4.1
   Ejercicios con MATLAB 4.1
   Información de MATLAB
   4.2: El producto escalar y las proyecciones en ℝ2
   Definición 4.2.1: Ángulo entre vectores
   Figura 4.11
   Teorema 4.2.1: La magnitud de un vector en términos del producto escalar
   Teorema 4.2.2
   Figura 4.12
   Figura 4.13
   EJEMPLO 4.2.1: Cálculo del ángulo entre dos vectores
   Definición 4.2.2: Vectores paralelos
   EJEMPLO 4.2.2: Dos vectores paralelos
   Teorema 4.2.3
   Definición 4.2.3: Vectores ortogonales
   EJEMPLO 4.2.3: Dos vectores ortogonales
   Teorema 4.2.4
   Teorema 4.2.5
   Figura 4.14
   Definición 4.2.4: Proyección
   Figura 4.15
   EJEMPLO 4.2.4: Cálculo de una proyección
   Figura 4.16
   EJEMPLO 4.2.5: Cálculo de una proyección
   Figura 4.17
   Resumen 4.2
   AutoevaluaciÓn 4.2
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 4.2
   Problemas 4.2
   Ejercicios con MATLAB 4.2
   4.3: Vectores en el espacio
   Figura 4.18
   Figura 4.19
   Teorema 4.3.1
   EJEMPLO 4.3.1: Cálculo de la distancia entre dos puntos en ℝ3
   EJEMPLO 4.3.2: Cálculo de la magnitud de un vector en ℝ3
   Definición 4.3.1
   Figura 4.20
   EJEMPLO 4.3.3: Cálculo de un vector unitario en ℝ3
   Figura 4.21
   Definición 4.3.2: Dirección en ℝ3
   Observación
   Figura 4.22
   EJEMPLO 4.3.4: Cálculo de los cosenos directores de un vector en ℝ3
   Figura 4.23
   EJEMPLO 4.3.5: Cálculo de un vector en ℝ3 dados su magnitud y cosenos directores
   Figura 4.24
   Figura 4.25
   Teorema 4.3.2
   EJEMPLO 4.3.6: Cálculo del coseno del ángulo entre dos vectores en ℝ3
   Definición 4.3.3: Vectores paralelos y ortogonales
   Teorema 4.3.3
   Teorema 4.3.4
   Definición 4.3.4: Proyección
   EJEMPLO 4.3.7: Cálculo de una proyección en ℝ3
   Resumen 4.3
   AutoevaluaciÓn 4.3
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 4.3
   Problemas 4.3
   Figura 4.26
   4.4: El producto cruz de dos vectores
   Nota histórica
   Definición 4.4.1: Producto cruz
   Nota
   EJEMPLO 4.4.1: Cálculo del producto cruz de dos vectores
   Teorema 4.4.1
   Nota
   EJEMPLO 4.4.2: Uso del teorema 4.4.1 para calcular un producto cruz
   Teorema 4.4.2
   Figura 4.27
   Figura 4.28
   Teorema 4.4.3
   Figura 4.29
   EJEMPLO 4.4.3: Cálculo del área de un paralelogramo en ℝ3
   Figura 4.30
   Interpretación geométrica de los determinantes de 2 × 2 (otra vez)
   Figura 4.31
   Interpretación geométrica del triple producto escalar
   Figura 4.32
   Semblanza de… Josiah Willard Gibbs y los orígenes del análisis vectorial (1839-1903)
   Figura 4.33
   Figura 4.34
   Resumen 4.4
   AutoevaluaciÓn 4.4
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 4.4
   Problemas 4.4
   Ejercicios con MATLAB 4.4
   4.5: Rectas y planos en el espacio
   Figura 4.35
   EJEMPLO 4.5.1: Determinación de las ecuaciones de una recta
   EJEMPLO 4.5.2: Obtención de las ecuaciones simétricas de una recta
   EJEMPLO 4.5.3: Determinación de las ecuaciones simétricas de una recta cuando un número director es cero
   EJEMPLO 4.5.4: Determinación de las ecuaciones simétricas de una recta cuando dos números directores son cero
   Advertencia
   EJEMPLO 4.5.5: Ilustración de la falta de unicidad en las ecuaciones simétricas de una recta
   Figura 4.36
   Definición 4.5.1: Plano
   EJEMPLO 4.5.6: Determinación de la ecuación de un plano que pasa por un punto dado y tiene un vector normal dado
   El dibujo de un plano
   Figura 4.37
   Figura 4.38
   Figura 4.39
   EJEMPLO 4.5.7: Determinación de la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados
   Figura 4.40
   Definición 4.5.2: Planos paralelos
   Figura 4.41
   Nota
   EJEMPLO 4.5.8: Dos planos paralelos
   EJEMPLO 4.5.9: Puntos de intersección de planos
   Resumen 4.5
   AutoevaluaciÓn 4.5
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 4.5
   Figura 4.42
   Ejercicios de repaso
Capítulo 5: Espacios vectoriales
   Objetivos del capítulo
   5.1: Definición y propiedades básicas
   Definición 5.1.1: Espacio vectorial real
   Axiomas de un espacio vectorial
   Nota
   EJEMPLO 5.1.1: El espacio ℝn
   Nota
   EJEMPLO 5.1.2: Espacio vectorial trivial
   EJEMPLO 5.1.3: Conjunto que no es un espacio vectorial
   Nota
   EJEMPLO 5.1.4: El conjunto de puntos en ℝ2 que se encuentran en una recta que pasa por el origen constituye un espacio vectorial
   EJEMPLO 5.1.5: El conjunto de puntos en ℝ2 que se encuentran sobre una recta que no pasa por el origen no constituye un espacio vectorial
   EJEMPLO 5.1.6: El conjunto de puntos en ℝ3 que se encuentran en un plano que pasa por el origen constituye un espacio vectorial
   EJEMPLO 5.1.7: El espacio vectorial Pn
   Nota
   EJEMPLO 5.1.8: Los espacios vectoriales C[0, 1] y C[a, b]
   EJEMPLO 5.1.9: El espacio vectorial Mmn
   EJEMPLO 5.1.10: Un conjunto de matrices invertibles puede no formar un espacio vectorial
   Nota
   EJEMPLO 5.1.11: Un conjunto de puntos en un semiplano puede no formar un espacio vectorial
   EJEMPLO 5.1.12: El espacio ℂn
   Teorema 5.1.1
   Resumen 5.1
   AutoevaluaciÓn 5.1: De las siguientes afirmaciones, indique si son falsas o verdaderas:
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 5.1
   Ejercicios con MATLAB 5.1
   5.2: Subespacios vectoriales
   Definición 5.2.1: Subespacios vectoriales
   Teorema 5.2.1: Subespacio vectorial
   Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacío es un subespacio
   EJEMPLO 5.2.1: El subespacio trivial
   EJEMPLO 5.2.2: Un espacio vectorial es un subespacio en sí mismo
   EJEMPLO 5.2.3: Un subespacio propio de ℝ2
   EJEMPLO 5.2.4: Un subespacio propio de ℝ3
   EJEMPLO 5.2.5: Otro subespacio propio de ℝ3
   Nota
   EJEMPLO 5.2.6: ℝ no tiene subespacios propios
   EJEMPLO 5.2.7: Algunos subespacios propios de Pn
   EJEMPLO 5.2.8: Un subespacio propio de Mmn
   EJEMPLO 5.2.9: Un subconjunto que no es un subespacio propio de Mnn
   EJEMPLO 5.2.10: Un subespacio propio de C[0, 1]
   Nota
   EJEMPLO 5.2.11: C1[0, 1] es un subespacio propio de C[0, 1]
   EJEMPLO 5.2.12: Otro subespacio propio de C[0, 1]
   Teorema 5.2.2
   EJEMPLO 5.2.13: La intersección de dos subespacios de ℝ3 es un subespacio
   Resumen 5.2
   AutoevaluaciÓn 5.2: De las siguientes aseveraciones, evalúe si son falsas o verdaderas.
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 5.2
   Ejercicios con MATLAB 5.2
   5.3: Combinación lineal y espacio generado
   Definición 5.3.1: Combinación lineal
   EJEMPLO 5.3.1: Una combinación lineal en ℝ3
   EJEMPLO 5.3.2: Una combinación lineal en M23
   EJEMPLO 5.3.3: Combinaciones lineales en Pn
   Definición 5.3.2: Conjunto generador
   EJEMPLO 5.3.4: Conjunto de vectores que generan ℝ2 y ℝ3
   EJEMPLO 5.3.5: n + 1 vectores que generan a Pn
   EJEMPLO 5.3.6: Cuatro vectores que generan a M22
   EJEMPLO 5.3.7: Ningún conjunto finito de polinomios generan a P
   Definición 5.3.3: Espacio generado por un conjunto de vectores
   Teorema 5.3.1: El espacio generado por vectores es un subespacio vectorial
   EJEMPLO 5.3.8: El espacio generado por dos vectores en ℝ3
   Figura 5.1
   Figura 5.2
   Teorema 5.3.2
   Resumen 5.3
   AutoevaluaciÓn 5.3
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 5.3
   Ejercicios con MATLAB 5.3
   5.4: Independencia lineal
   Definición 5.4.1: Dependencia e independencia lineal
   Nota
   Teorema 5.4.1: Dependencia e independencia lineal
   EJEMPLO 5.4.1: Dos vectores linealmente dependientes en ℝ4
   EJEMPLO 5.4.2: Dos vectores linealmente dependientes en ℝ3
   EJEMPLO 5.4.3: Determinación de la dependencia o independencia lineal de tres vectores en ℝ3
   EJEMPLO 5.4.4: Determinación de la dependencia lineal de tres vectores en ℝ3
   Interpretación geométrica de la dependencia lineal en ℝ3
   Figura 5.3
   Teorema 5.4.2
   EJEMPLO 5.4.5: Cuatro vectores en ℝ3 que son linealmente dependientes
   Corolario 5.4.1
   Nota
   Teorema 5.4.3
   EJEMPLO 5.4.6: Soluciones a un sistema homogéneo escritas como combinaciones lineales de vectores solución linealmente independientes
   Teorema 5.4.4
   Teorema 5.4.5
   Teorema 5.4.6: Teorema de resumen (punto de vista 6)
   Teorema 5.4.7
   EJEMPLO 5.4.7: Tres vectores en ℝ3 generan ℝ3 si su determinante es diferente de cero
   EJEMPLO 5.4.8: Tres matrices linealmente independientes en M23
   EJEMPLO 5.4.9: Cuatro polinomios linealmente independientes en P3
   EJEMPLO 5.4.10: Tres polinomios linealmente independientes en P2
   Resumen 5.4
   AutoevaluaciÓn 5.4
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 5.4
   Ejercicios con MATLAB 5.4
   Nota
   5.5: Bases y dimensión
   Definición 5.5.1: Base
   EJEMPLO 5.5.1: Base canónica para Pn
   EJEMPLO 5.5.2: Base canónica para M22
   EJEMPLO 5.5.3: Una base para un subespacio de ℝ3
   Teorema 5.5.1
   Teorema 5.5.2
   Definición 5.5.2: Dimensión
   EJEMPLO 5.5.4: La dimensión de ℝn
   EJEMPLO 5.5.5: La dimensión de Pn
   EJEMPLO 5.5.6: La dimensión de Mmn
   EJEMPLO 5.5.7: P tiene dimensión infinita
   Teorema 5.5.3
   Teorema 5.5.4
   EJEMPLO 5.5.8: C[0, 1] y C1[0, 1] tienen dimensión infinita
   EJEMPLO 5.5.9: Los subespacios de ℝ3
   EJEMPLO 5.5.10: Espacios de solución y espacio nulo
   EJEMPLO 5.5.11: Una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo
   EJEMPLO 5.5.12: Una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo
   Teorema 5.5.5
   Resumen 5.5
   AutoevaluaciÓn 5.5: Indique cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos.
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 5.5
   Ejercicios con MATLAB 5.5
   5.6: Cambio de bases
   Figura 5.4
   Definición 5.6.1: Matriz de transición
   Nota
   Teorema 5.6.1
   Teorema 5.6.2
   Procedimiento para encontrar la matriz de transición de la base canónica a la base B2 = {v1, v2, …, vn}
   Nota
   EJEMPLO 5.6.1: Expresión de vectores en ℝ3 en términos de una nueva base
   EJEMPLO 5.6.2: Expresión de polinomios en P2 en términos de una nueva base
   EJEMPLO 5.6.3: Conversión de una base a otra en ℝ2
   EJEMPLO 5.6.4: Obtención de la matriz de transición entre dos bases a través de la base canónica
   Teorema 5.6.3
   EJEMPLO 5.6.5: Determinación de si tres polinomios en P2 son linealmente dependientes o independientes
   EJEMPLO 5.6.6: Determinación de si cuatro matrices de 2 × 2 son linealmente dependientes o independientes
   Resumen 5.6
   AutoevaluaciÓn 5.6
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 5.6
   Ejercicios con MATLAB 5.6
   5.7: Rango, nulidad, espacio renglón y espacio columna
   Definición 5.7.1: Espacio nulo y nulidad de una matriz
   Nota
   EJEMPLO 5.7.1: Espacio nulo y nulidad de una matriz de 2 × 3
   EJEMPLO 5.7.2: Espacio nulo y nulidad de una matriz de 3 × 3
   Teorema 5.7.1
   Definición 5.7.2: Imagen de una matriz
   Teorema 5.7.2
   Definición 5.7.3: Rango de una matriz
   Definición 5.7.4: Espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
   Nota
   Teorema 5.7.3
   EJEMPLO 5.7.3: Cálculo de NA, ν(A), im A, ρ(A), RA y CA para una matriz de – 3 3
   Teorema 5.7.4
   EJEMPLO 5.7.4: Cálculo de im A y ρ(A) para una matriz de 3 × 3
   Teorema 5.7.5
   Teorema 5.7.6
   EJEMPLO 5.7.5: Cálculo de ρ(A) y RA para una matriz de 3 × 3
   EJEMPLO 5.7.6: Determinación de una base para el espacio generado por cuatro vectores en ℝ3
   EJEMPLO 5.7.7: Cálculo del espacio nulo de una matriz de 4 × 4
   Teorema 5.7.7
   EJEMPLO 5.7.8: Ilustración de que ρ(A) + ν(A) = n
   EJEMPLO 5.7.9: Ilustración de que ρ(A) + ν(A) = n
   Teorema 5.7.8
   Teorema 5.7.9
   EJEMPLO 5.7.10: Uso del teorema 5.7.9 para determinar si un sistema tiene soluciones
   EJEMPLO 5.7.11: Uso del teorema 5.7.9 para determinar si un sistema tiene soluciones
   Teorema 5.7.10: Teorema de resumen (punto de vista 7)
   Resumen 5.7
   AutoevaluaciÓn 5.7
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 5.7
   Problemas 5.7
   Ejercicios con MATLAB 5.7
   5.8: Fundamentos de la teoría de espacios vectoriales: existencia de una base (opcional)
   Definición 5.8.1: Orden parcial
   Notación
   EJEMPLO 5.8.1: Un orden parcial en ℝ
   EJEMPLO 5.8.2: Un orden parcial en un conjunto de subconjuntos
   Figura 5.13
   Definición 5.8.2: Cadena, cota superior y elemento maximal
   EJEMPLO 5.8.3: Una cadena de subconjuntos de ℝ2
   Definición 5.8.3: Combinación lineal, conjunto generador, independencia lineal y base
   Teorema 5.8.1
   Lema de Zorn‡
   Teorema 5.8.2
   Problemas 5.8
   Ejercicios de repaso
Capítulo 6: Espacios vectoriales con producto interno
   Objetivos del capítulo
   6.1: Bases ortonormales y proyecciones en ℝn
   Definición 6.1.1: Conjunto ortonormal en ℝn
   Definición 6.1.2: Longitud o norma de un vector
   EJEMPLO 6.1.1: La norma de un vector en ℝ2
   EJEMPLO 6.1.2: La norma de un vector en ℝ3
   EJEMPLO 6.1.3: La norma de un vector en ℝ5
   Teorema 6.1.1
   Nota
   Teorema 6.1.2: Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
   Nota
   Figura 6.1
   EJEMPLO 6.1.4: Construcción de una base ortonormal en ℝ3
   EJEMPLO 6.1.5: Una base ortonormal para un subespacio de ℝ3
   Figura 6.2
   Definición 6.1.3: Matriz ortogonal
   Teorema 6.1.3
   EJEMPLO 6.1.6: Una matriz ortogonal
   Definición 6.1.4: Proyección ortogonal
   EJEMPLO 6.1.7: Proyección ortogonal de un vector sobre un plano
   Teorema 6.1.4
   EJEMPLO 6.1.8: Expresión de un vector en términos de una base ortonormal
   Teorema 6.1.5
   Definición 6.1.5: Complemento ortogonal
   Teorema 6.1.6
   Teorema 6.1.7: Teorema de proyección
   EJEMPLO 6.1.9: Descomposición de un vector en ℝ3
   Teorema 6.1.8: Teorema de aproximación de la norma
   Bases ortogonales en ℝ3 con coeficientes enteros y normas enteras
   Teorema 6.1.9: Desigualdad de Cauchy-Schwarz en ℝn
   Resumen 6.1
   AutoevaluaciÓn 6.1: Indique si las siguientes aseveraciones son falsas o verdaderas
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 6.1
   Problemas 6.1
   Ejercicios con MATLAB 6.1: Recordatorio de MATLAB
   6.2: Aproximaciones por mínimos cuadrados
   Figura 6.3
   Aproximación por una recta
   Figura 6.4
   Figura 6.5
   EJEMPLO 6.2.1: La recta que mejor se ajusta para cuatro datos
   Figura 6.6
   Aproximación cuadrática
   EJEMPLO 6.2.2: El mejor ajuste cuadrático para cuatro puntos
   Figura 6.7
   EJEMPLO 6.2.3: El mejor ajuste cuadrático para cinco puntos puede proporcionar una estimación para g
   Teorema 6.2.1
   Resumen 6.2
   AutoevaluaciÓn 6.2
   Respuesta a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 6.2
   Problemas 6.2
   Ejercicios con MATLAB 6.2
   6.3: Espacios con producto interno y proyecciones
   Definición 6.3.1: Espacio con producto interno
   Nota
   EJEMPLO 6.3.1: Un producto interno en ℝn
   EJEMPLO 6.3.2: Un producto interno en ℂn
   EJEMPLO 6.3.3: Producto interno de dos vectores en ℂ3
   EJEMPLO 6.3.4: Un producto interno en C[a, b]
   Nota
   EJEMPLO 6.3.5: El producto interno de dos funciones en C[0, 1]
   Definición 6.3.2
   Nota
   EJEMPLO 6.3.6: Dos vectores ortogonales en ℂ2
   Nota
   EJEMPLO 6.3.7: Dos funciones ortogonales en C[0, 2φ]
   Definición 6.3.3: Conjunto ortonormal
   Teorema 6.3.1
   Teorema 6.3.2
   EJEMPLO 6.3.8: Una base ortonormal P2[0, 1]
   EJEMPLO 6.3.9: Un conjunto ortonormal infinito C[0, 2φ]
   Definición 6.3.4: Proyección ortogonal
   Teorema 6.3.3
   Definición 6.3.5: Complemento ortogonal
   Teorema 6.3.4
   Teorema 6.3.5: Teorema de proyección
   Teorema 6.3.6: Teorema de aproximación de la norma
   EJEMPLO 6.3.10: Cálculo de una proyección sobre P2[0, 1]
   Aproximación por mínimos cuadrados a una función continua
   EJEMPLO 6.3.11: Cálculo de errores
   Figura 6.8
   EJEMPLO 6.3.12: La mejor aproximación cuadrática media a ex
   Resumen 6.3
   AutoevaluaciÓn 6.3: Complete las siguientes afirmaciones con el inciso correcto.
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 6.3
   Problemas 6.3
   Ejercicios con MATLAB 6.3
   Ejercicios de repaso
Capítulo 7: Transformaciones lineales
   Objetivos del capítulo
   7.1: Definición y ejemplos
   EJEMPLO 7.1.1: Reflexión respecto al eje x
   Figura 7.1
   EJEMPLO 7.1.2: Transformación de un vector de producción en un vector de materia prima
   Definición 7.1.1: Transformación lineal
   Tres observaciones sobre notación
   EJEMPLO 7.1.3: Una transformación lineal de ℝ2 en ℝ3
   EJEMPLO 7.1.4: La transformación cero
   EJEMPLO 7.1.5: La transformación identidad
   EJEMPLO 7.1.6: Transformación de reflexión
   Figura 7.2
   EJEMPLO 7.1.7: Transformación de ℝn → ℝm dada por la multiplicación por una matriz de m × n
   EJEMPLO 7.1.8: Transformación de rotación
   Figura 7.3
   Nota
   EJEMPLO 7.1.9: Transformación de proyección ortogonal
   EJEMPLO 7.1.10: Dos operadores de proyección
   Figura 7.4
   EJEMPLO 7.1.11: Operador de transposición
   EJEMPLO 7.1.12: Operador integral
   EJEMPLO 7.1.13: Operador diferencial
   EJEMPLO 7.1.14: Una transformación que no es lineal
   Advertencia
   Resumen 7.1
   Autoevaluación 7.1: Falso-verdadero.
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 7.1
   Ejercicios con MATLAB 7.1: Información de MATLAB: impresión de gráficas
   Precaución.
   7.2: Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo
   Teorema 7.2.1
   Observación
   Teorema 7.2.2
   EJEMPLO 7.2.1: Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector
   Teorema 7.2.3
   Observación.
   EJEMPLO 7.2.2: Definición de una transformación lineal de ℝ2 en un subespacio de ℝ3
   Definición 7.2.1: Núcleo e imagen de una transformación líneal
   Observación 1.
   Observación 2.
   Teorema 7.2.4
   EJEMPLO 7.2.3: Núcleo e imagen de la transformación cero
   EJEMPLO 7.2.4: Núcleo e imagen de la transformación identidad
   EJEMPLO 7.2.5: Núcleo e imagen de un operador de proyección
   Definición 7.2.2: Nulidad y rango de una transformación lineal
   Observación.
   EJEMPLO 7.2.6: Núcleo y nulidad de un operador de proyección
   EJEMPLO 7.2.7: Núcleo e imagen de un operador transpuesto
   EJEMPLO 7.2.8: Núcleo e imagen de una transformación de P3 en P2
   EJEMPLO 7.2.9: Núcleo e imagen de un operador integral
   Resumen 7.2
   Autoevaluación 7.2: De los siguientes enunciados, indique si son verdaderos o falsos.
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 7.2
   7.3: Representación matricial de una transformación lineal
   Teorema 7.3.1
   Nota
   Observación 1.
   Observación 2.
   Definición 7.3.1: Matriz de transformación
   Teorema 7.3.2
   EJEMPLO 7.3.1: Representación matricial de una transformación de proyección
   EJEMPLO 7.3.2: Representación matricial de una transformación de ℝ3 en ℝ4
   EJEMPLO 7.3.3: Representación matricial de una transformación de ℝ3 en ℝ3
   EJEMPLO 7.3.4: Representación matricial de una transformación cero
   EJEMPLO 7.3.5: Representación matricial de una transformación cero
   Teorema 7.3.3
   Observación 1.
   Observación 2.
   Teorema 7.3.4
   EJEMPLO 7.3.6: Representación matricial de una transformación de P2 en P3
   EJEMPLO 7.3.7: Representación matricial de una transformación de P3 en P2
   EJEMPLO 7.3.8: Representación matricial relativa a dos bases no estándar en ℝ2
   EJEMPLO 7.3.9: La representación matricial de una transformación lineal respecto a dos bases no estándar en ℝ2 puede ser diagonal
   Figura 7.5
   Teorema 7.3.5
   Geometría de las transformaciones lineales de ℝ2 en ℝ2
   Expansiones a lo largo de los ejes x o y
   Figura 7.6
   Compresión a lo largo de los ejes x o y
   Figura 7.7
   Reflexiones
   Figura 7.8
   Cortes
   Figura 7.9
   Figura 7.10
   Tabla 7.1: Transformaciones lineales especiales de ℝ2 en ℝ2
   Tabla 7.2: Matrices elementales en ℝ2
   Teorema 7.3.6
   Teorema 7.3.7
   EJEMPLO 7.3.10: Descomposición de una transformación lineal en ℝ2 en una sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones
   Figura 7.11
   Resumen 7.3
   AutoevaluaciÓn 7.3
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 7.3
   Ejercicios con MATLAB 7.3
   7.4: Isomorfismos
   Definición 7.4.1: Transformación uno a uno
   Nota
   Teorema 7.4.1
   EJEMPLO 7.4.1: Una transformación 1-1 de ℝ2 en ℝ2
   EJEMPLO 7.4.2: Una transformación de ℝ2 en ℝ2 que no es 1-1
   Nota
   Definición 7.4.2: Transformación sobre
   EJEMPLO 7.4.3: Cómo determinar si una transformación es sobre
   Teorema 7.4.2
   Teorema 7.4.3
   EJEMPLO 7.4.4: Una transformación de ℝ3 en ℝ2 no es 1-1
   EJEMPLO 7.4.5: Una transformación lineal de ℝ2 en ℝ3 no es sobre
   Observación
   Definición 7.4.3: Isomorfismo
   Definición 7.4.4: Espacios vectoriales isomorfos
   Teorema 7.4.4: Teorema de resumen (punto de vista 8)
   EJEMPLO 7.4.6: Un isomorfismo entre ℝ3 y P2
   EJEMPLO 7.4.7: Un isomorfismo entre dos espacios vectoriales de dimensión infinita
   Teorema 7.4.5
   Teorema 7.4.6
   Resumen 7.4
   AutoevaluaciÓn 7.4: Indique si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos.
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 7.4
   Ejercicios con MATLAB 7.4
   7.5: Isometrías
   Teorema 7.5.1
   Definición 7.5.1: Isometría
   Teorema 7.5.2
   Teorema 7.5.3
   Isometrías de ℝ2
   Teorema 7.5.4
   Teorema 7.5.5
   Definición 7.5.2: Isometría
   Teorema 7.5.6
   Definición 7.5.3: Espacios vectoriales isométricamente isomorfos
   Teorema 7.5.7
   EJEMPLO 7.5.1: Una isometría entre ℝ3 y P2[0, 1]
   Resumen 7.5
   AutoevaluaciÓn 7.5: Indique si los enunciados siguientes son falsos o verdaderos.
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 7.5
   Ejercicios con MATLAB 7.5
   Ejercicios de repaso
Capítulo 8: Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas
   Objetivos del capítulo
   8.1: Valores característicos y vectores característicos
   Definición 8.1.1: Valor característico y vector característico
   Nota
   EJEMPLO 8.1.1: Valores característicos y vectores característicos de una matriz de 2×2
   EJEMPLO 8.1.2: Valores característicos y vectores característicos de la matriz identidad
   Teorema 8.1.1
   Definición 8.1.2: Ecuación y polinomio característicos
   Teorema 8.1.2
   Definición 8.1.3: Espacio característico
   Teorema 8.1.3
   EJEMPLO 8.1.3: Cálculo de valores y vectores característicos
   EJEMPLO 8.1.4: Una matriz de 3 × 3 con valores característicos distintos
   EJEMPLO 8.1.5: Una matriz de 2 × 2 con uno de sus valores característicos iguales a cero
   EJEMPLO 8.1.6: Una matriz de 2 × 2 con valores característicos conjugados complejos
   Teorema 8.1.4
   EJEMPLO 8.1.7: Valores característicos de una matriz triangular
   EJEMPLO 8.1.8: Una matriz de 2 × 2 con un valor característico y dos vectores característicos linealmente independientes
   EJEMPLO 8.1.9: Una matriz de 2 × 2 con un valor característico y sólo un vector característico independiente
   EJEMPLO 8.1.10: Una matriz de 3 × 3 con dos valores característicos y tres vectores característicos linealmente independientes
   Nota
   EJEMPLO 8.1.11: Una matriz de 3 × 3 con un valor característico y sólo un vector característico linealmente independiente
   EJEMPLO 8.1.12: Una matriz de 3 × 3 con un valor característico y dos vectores característicos linealmente independientes
   Definición 8.1.4: Multiplicidad geométrica
   Teorema 8.1.5
   Nota
   Teorema 8.1.6
   Teorema 8.1.7: Teorema de resumen (punto de vista 9)
   Resumen 8.1
   AutoevaluaciÓn 8.1: Indique si los enunciados siguientes son falsos o verdaderos.
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 8.1
   Problemas 8.1
   Ejercicios con MATLAB 8.1
   8.2: Un modelo de crecimiento de población (opcional)
   EJEMPLO 8.2.1: Una ilustración del modelo aplicado durante −0 generaciones
   Tabla 8.1
   Figura 8.1
   EJEMPLO 8.2.2: Los valores y vectores característicos de A determinan el comportamiento de generaciones futuras
   Problemas 8.2
   Ejercicios con MATLAB 8.2
   8.3: Matrices semejantes y diagonalización
   Definición 8.3.1: Matrices semejantes
   Definición alternativa de semejanza
   EJEMPLO 8.3.1: Dos matrices semejantes
   EJEMPLO 8.3.2: Una matriz semejante a una matriz diagonal
   Teorema 8.3.1
   EJEMPLO 8.3.3: Los valores característicos de matrices semejantes son los mismos
   Definición 8.3.2: Matriz diagonalizable
   Teorema 8.3.2
   Corolario 8. 3.1
   EJEMPLO 8.3.4: Diagonalización de una matriz de 2 × 2
   EJEMPLO 8.3.5: Diagonalización de una matriz de 3 × 3 con tres valores característicos distintos
   EJEMPLO 8.3.6: Diagonalización de una matriz de 3 × 3 con dos valores característicos distintos y tres vectores característicos linealmente independientes
   EJEMPLO 8.3.7: Una matriz de 2 × 2 con sólo un vector característico linealmente independiente que no se puede diagonalizar
   Teorema 8.3.3
   Resumen 8.3
   AutoevaluaciÓn 8.3
   Respuestas a la autoevaluación
   MANEJO DE LA CALCULADORA 8.3
   Problemas 8.3
   Ejercicios con MATLAB 8.3
   8.4: Matrices simétricas y diagonalización ortogonal
   Nota
   Teorema 8.4.1
   Nota
   Teorema 8.4.2
   Teorema 8.4.3
   Definición 8.4.1: Matriz diagonalizable ortogonalmente
   Teorema 8.4.4
   Procedimiento para encontrar una matriz diagonalizante Q
   EJEMPLO 8.4.1: Diagonalización de una matriz simétrica de 2 × 2 usando una matriz ortogonal
   EJEMPLO 8.4.2: Diagonalización de una matriz simétrica de 3 × 3 usando una matriz ortogonal
   Resumen 8.4
   AutoevaluaciÓn 8.4: Indique si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 8.4
   Ejercicios con MATLAB 8.4
   8.5: Formas cuadráticas y secciones cónicas
   Definición 8.5.1: Ecuación cuadrática y forma cuadrática
   EJEMPLO 8.5.1: Expresión de una forma cuadrática en las nuevas variables x′ y y′ sin el término x′y′
   Teorema 8.5.1: Teorema de los ejes principales en ℝ2
   EJEMPLO 8.5.2: Identificación de una hipérbola
   Figura 8.1
   EJEMPLO 8.5.3: Una elipse
   EJEMPLO 8.5.4: Una sección cónica degenerada
   Figura 8.2
   Teorema 8.5.2
   EJEMPLO 8.5.5: Una elipsoide
   Definición 8.5.2: Forma cuadrática
   Superficies cuadráticas
   Figura 8.3
   EJEMPLO 8.5.6: a forma cuadrática en cuatro variables
   EJEMPLO 8.5.7: Una matriz simétrica que corresponde a una forma cuadrática en cuatro variables
   Resumen 8.5
   AutoevaluaciÓn 8.5: Elija el inciso que mejor responda a lo planteado en el enunciado.
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 8.5
   Ejercicios con MATLAB 8.5
   8.6: Forma canónica de Jordan
   Nota
   EJEMPLO 8.6.1: Tres matrices de Jordan
   EJEMPLO 8.6.2: Matrices de Jordan de 2 × 2
   EJEMPLO 8.6.3: Matrices de Jordan de 3 × 3
   Teorema 8.6.1
   Definición 8.6.1: Forma canónica de Jordan
   Observación
   Teorema 8.6.2
   Definición 8.6.2: Vector característico generalizado
   EJEMPLO 8.6.4: Vector característico generalizado
   Teorema 8.6.3
   EJEMPLO 8.6.5: Forma canónica de Jordan de una matriz de 2 × 2
   EJEMPLO 8.6.6: Determinación de las posibles formas canónicas de Jordan de una matriz de 4 × 4 con ecuación característica dada
   Resumen 8.6
   AutoevaluaciÓn 8.6
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 8.6
   Ejercicios con MATLAB 8.6
   8.7: Una aplicación importante: forma matricial de ecuaciones diferenciales
   Definición 8.7.1: La matriz eA
   Teorema 8.7.1
   Definición 8.7.2: Matriz solución principal
   EJEMPLO 8.7.1: Cálculo de eAt cuando A es una matriz diagonal
   EJEMPLO 8.7.2: Cálculo de eAt cuando A es una matriz de 2 × 2 que no es diagonalizable
   Teorema 8.7.2
   EJEMPLO 8.7.3: Un modelo competitivo
   EJEMPLO 8.7.4: Un modelo depredador-presa
   EJEMPLO 8.7.5: Otro modelo depredador-presa
   EJEMPLO 8.7.6: Modelo de cooperación de especies (simbiosis)
   Resumen 8.7
   AutoevaluaciÓn 8.7
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 8.7
   8.8: Una perspectiva diferente: los teoremas de Cayley-Hamilton y Gershgorin
   EJEMPLO 8.8.1: Evaluación de p (A)
   Teorema 8.8.1
   Observación.
   Teorema 8.8.2: Teorema de Cayley-Hamilton
   Nota
   EJEMPLO 8.8.2: Ilustración del teorema de Cayley-Hamilton
   EJEMPLO 8.8.3: Aplicación del teorema de Cayley-Hamilton para calcular A−1
   Teorema de las circunferencias de Gershgorin
   Figura 8.4
   Teorema 8.8.3: Teorema de las circunferencias de Gershgorin
   Nota
   Figura 8.5
   EJEMPLO 8.8.4: Uso del teorema de Gershgorin
   Figura 8.6
   Resumen 8.8
   AutoevaluaciÓn 8.8
   Respuestas a la autoevaluación
   Problemas 8.8
   Ejercicios con MATLAB 8.8
   Ejercicios de repaso
Back Matter
   Apéndice A: Inducción matemática
   EJEMPLO A.1
   EJEMPLO A.2
   ¿En dónde está la dificultad?
   Suposición
   Para demostrar
   La demostración en sí
   EJEMPLO A.3
   EJEMPLO A.4
   Semblanza: Inducción matemática
   EJEMPLO A.5
   EJEMPLO A.6
   Problemas A.1
   Apéndice B: Números complejos
   EJEMPLO B.1
   Definición B.1
   EJEMPLO B.2
   Definición B.2
   EJEMPLO B.3
   Figura B.1
   Figura B.2
   EJEMPLO B.4
   Nota
   Figura B.3
   Figura B.4
   EJEMPLO B.5
   Figura B.5
   EJEMPLO B.6
   EJEMPLO B.7
   Problemas B.1
   Apéndice C: El error numérico en los cálculos y la complejidad computacional
   EJEMPLO C.1: Forma de punto flotante de cuatro números
   EJEMPLO C.2: Ilustración de truncado y redondeo
   EJEMPLO C.3: Ilustración del error relativo
   Complejidad computacional
   EJEMPLO C.4: Cuenta de sumas y multiplicaciones en la eliminación de Gauss-Jordan
   Una modificación de la eliminación de Gauss-Jordan
   Tabla C.1: Número de aproximaciones aritméticas para una matriz invertible A de n × n
   Problemas C.1
   Apéndice D: Eliminación gaussiana con pivoteo
   EJEMPLO D.1: Solución de un sistema por eliminación gaussiana con pivoteo parcial
   EJEMPLO D.2: Solución de un sistema por eliminación gaussiana con pivoteo parcial
   EJEMPLO D.3: El pivoteo parcial puede dar mejores resultados
   EJEMPLO D.4: Un sistema mal condicionado
   Problemas D.1
   Apéndice E: Uso de MATLAB
   Herramientas de álgebra lineal elemental
   MATLAB Primer
   Obtención de un registro de trabajo y resultados
   Consideraciones gráficas
   Nombres de variables especiales
   Respuestas R: Problemas impares
   Capítulo 1
   Problemas 1.1
   Problemas 1.2
   Problemas 1.4
   Capítulo 2
   Problemas 2.1
   Problemas 2.2
   Problemas 2.3
   Problemas 2.4
   Problemas 2.5
   Problemas 2.6
   Problemas 2.7
   Problemas 2.8
   Ejercicios de repaso capítulo 2
   Capítulo 3
   Problemas 3.1
   Problemas 3.2
   Problemas 3.3
   Problemas 3.4
   Problemas 3.5
   Ejercicios de repaso capítulo 3
   Capítulo 4
   Problemas 4.1
   Problemas 4.2
   Problemas 4.3
   Problemas 4.4
   Problemas 4.5
   Ejercicios de repaso capítulo 4
   Capítulo 5
   Problemas 5.1
   Problemas 5.2
   Problemas 5.3
   Problemas 5.4
   Problemas 5.5
   Problemas 5.6
   Problemas 5.7
   Problemas 5.8
   Ejercicios de repaso capítulo 5
   Capítulo 6
   Problemas 6.1
   Problemas 6.2
   Problemas 6.3
   Ejercicios de repaso capítulo 6
   Capítulo 7
   Problemas 7.1
   Problemas 7.2
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   Problemas 7.5
   Ejercicios de repaso capítulo 7
   Capítulo 8
   Problemas 8.1
   Problemas 8.2
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