Matemáticas 4. Álgebra lineal

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Descripción:
Esta obra representa un aporte al desarrollo del pensamiento lógico y algorítmico del estudiante
y viene a coronar el estudio del cálculo diferencial, integral y vectorial con una de las ramas
más fascinantes y abstractas de las matemáticas: el álgebra lineal. En ella se estudian los conceptos
que sirven de base para el estudio de cursos más avanzados de matemáticas como las
ecuaciones diferenciales. En este curso se inicia con un repaso breve de los números complejos,
para entrar de lleno con el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, las matrices y los determinantes,
los formidables espacios vectoriales y las transformaciones lineales. Por la importancia
del tema en materias posteriores y porque para algunos docentes no puede pasar desapercibido
se incluye como un apéndice la sección valores característicos, vectores característicos y
formas canónicas. Lo anterior permite el estudio de conceptos básicos pero esenciales para sustentar
cualquier área de la ingeniería, lo que contribuye
a desarrollar en el estudiante un pensamiento
formal y heurístico que le permitirá modelar fenómenos y resolver problemas.

Tabla de contenidos:

Front Matter
   Prefacio
   Para el instructor
   Filosofía
   Características de esta obra
   Características y secciones
   Para el estudiante
   Prólogo
   Las competencias y el álgebra lineal
   Competencias previas de la asignatura
   Competencia específica de la asignatura
   Competencias específicas por unidad
   Agradecimientos
   Evaluación diagnóstica
   Cálculo diferencial
   Cálculo integral
   Cálculo de varias variables
Unidad 1: NÚMEROS COMPLEJOS
   Competencia específica
   Competencias genéricas
   1.1: Introducción
   EJEMPLO 1: Raíces de la ecuación cuadrática
   Solución
   Definición 1
   EJEMPLO 2: Partes real e imaginaria de un complejo
   EJEMPLO 3: Operaciones con números en forma rectangular
   Solución
   FIGURA 1.1: Doce puntos en el plano complejo.
   FIGURA 1.2: z¯ se obtiene reflejando z respecto al eje x.
   EJEMPLO 4: Conjugado de un complejo
   Solución
   FIGURA 1.3: Si z = a + ib, entonces a = r cos θ y b = r sen θ.
   FIGURA 1.4: Arg z¯ = −arg z.
   EJEMPLO 5: División de dos complejos y recíproco de un complejo
   Solución
   EJEMPLO 6: Forma polar de un complejo
   Solución
   EJEMPLO 7: Forma rectangular de un complejo en forma polar
   Solución
   EJEMPLO 8: Operaciones de complejos en forma polar
   Solución
   Teorema 1: Identidad de Euler
   EJEMPLO 9: Complejos en forma exponencial
   Solución
   FIGURA 1.5: Seis puntos en el plano complejo.
   EJEMPLO 10: De la forma exponencial a la forma cartesiana
   Solución
   Teorema 2: De Moivre
   EJEMPLO 11: Potencia de un complejo
   Solución
   EJEMPLO 12: Operaciones con complejos en forma exponencial
   Solución
   Teorema 3: Raíces n-ésimas de un complejo
   EJEMPLO 13: Raíces n-ésimas
   Solución
   EJEMPLO 14: Integración y derivación compleja
   Solución
   EJEMPLO 15: Integración compleja
   Solución
   1.1: Desarrollo de competencias
Unidad 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
   Competencia específica
   Competencias genéricas
   2.1: Introducción
   2.2: Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
   EJEMPLO 1: Sistema con una solución única
   EJEMPLO 2: Sistema con un número infinito de soluciones
   EJEMPLO 3: Sistema sin solución
   FIGURA 2.1: Dos rectas se intersecan en un punto, en ninguno o (si coinciden) en un número infinito de puntos.
   Teorema 1: Teorema de resumen
   AUTOEVALUACIÓN
   2.2: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   2.3: m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
   EJEMPLO 1: Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: solución única
   Solución
   Operaciones elementales con renglones
   EJEMPLO 2: Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: número infinito de soluciones
   Solución
   EJEMPLO 3: Sistema inconsistente
   Solución
   Definición 1: Sistemas inconsistentes y consistentes
   Definición 2: Forma escalonada reducida por renglones y pivote
   EJEMPLO 4: Cinco matrices en la forma escalonada reducida por renglones
   Definición 3: Forma escalonada por renglones
   EJEMPLO 5: Cinco matrices en la forma escalonada por renglones
   EJEMPLO 6: Solución de un sistema mediante eliminación gaussiana
   Solución
   EJEMPLO 7: Solución de un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas
   Solución
   EJEMPLO 8: Un problema de administración de recursos
   Solución
   EJEMPLO 9: El modelo de insumo-producto de Leontief
   EJEMPLO 10: El modelo de Leontief aplicado a un sistema económico con tres industrias
   Solución
   FIGURA 2.2: Los tres planos se intersecan en un solo punto.
   FIGURA 2.3: Los tres planos se intersecan en la misma recta.
   FIGURA 2.4: Dos planos se intersecan en una recta.
   FIGURA 2.5: Los planos paralelos no tienen puntos en común.
   FIGURA 2.6: El plano 3 es paralelo a L, la recta de intersección de los planos 1 y 2.
   Nota biográfica
   AUTOEVALUACIÓN
   2.3: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   Uso de las TIC
   2.4: Sistemas homogéneos de ecuaciones
   EJEMPLO 1: Sistema homogéneo que tiene únicamente la solución trivial
   Solución
   EJEMPLO 2: Un sistema homogéneo con un número infinito de soluciones
   Solución
   EJEMPLO 3: Un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene un número infinito de soluciones
   Solución
   Teorema 1
   AUTOEVALUACIÓN
   2.4: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   Uso de las TIC
   Resumen
   Competencia final de la unidad 2
Unidad 3: MATRICES Y DETERMINANTES
   Competencia específica
   Competencias genéricas
   3.1: Vectores y matrices
   Definición 1: Vector renglón de n componentes
   Definición 2: Vector columna de n componentes
   EJEMPLO 1: Cuatro vectores
   El espacio símbolo ℝn
   Definición 3: Matriz
   EJEMPLO 2: Cinco matrices
   EJEMPLO 3: Localización de las componentes de una matriz
   Solución
   Definición 4: Igualdad de matrices
   EJEMPLO 4: Matrices iguales y matrices distintas
   Solución
   Los vectores son matrices de un renglón o de una columna
   Definición 5: Suma de matrices
   EJEMPLO 5: Suma de dos matrices
   Definición 6: Multiplicación de una matriz por un escalar
   EJEMPLO 6: Múltiplos escalares de matrices
   EJEMPLO 7: Suma de múltiplos escalares de dos vectores
   Solución
   Teorema 1
   EJEMPLO 8: Ilustración de la ley asociativa para la suma de matrices
   AUTOEVALUACIÓN
   Nota biográfica
   3.1: Desarrollo de competencias
   FIGURA 3.1
   FIGURA 3.2
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   Uso de las TIC
   3.2: Productos vectorial y matricial
   EJEMPLO 1: Producto de un vector de demanda y un vector de precios
   Solución
   Definición 1: Producto escalar
   Producto escalar
   EJEMPLO 2: Producto escalar de dos vectores
   Solución
   EJEMPLO 3: Producto escalar de dos vectores
   Solución
   Teorema 1
   Definición 2: Producto de dos matrices
   EJEMPLO 4: Producto de dos matrices de 2 × 2
   Solución
   EJEMPLO 5: El producto de una matriz de 2 × 3 y una de 3 × 4 está definido pero el producto de una matriz 3 × 4 y una de 2 × 3 no lo está
   Solución
   EJEMPLO 6: Contacto directo e indirecto con una enfermedad contagiosa
   Teorema 2: Ley asociativa para la multiplicación de matrices
   Teorema 3: Leyes distributivas para la multiplicación de matrices
   EJEMPLO 7: Cómo escribir las columnas de AB como combinación lineal de las columnas de A
   EJEMPLO 8: Multiplicación por bloques
   EJEMPLO 9: Dos matrices que son conmutativas
   Solución
   EJEMPLO 10: Interpretación de la notación de sumatoria
   Solución
   EJEMPLO 11: Interpretación de la notación de sumatoria
   Solución
   EJEMPLO 12: Interpretación de la notación de sumatoria
   Solución
   EJEMPLO 13: Cómo escribir una suma usando la notación de sumatoria
   Solución
   EJEMPLO 14: Cómo escribir el producto escalar haciendo uso de la notación de sumatoria
   Solución
   Hechos sobre la notación de sumatoria
   Nota biográfica: Arthur Cayley y el álgebra de matrices
   AUTOEVALUACIÓN
   3.2: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   Uso de las TIC
   3.3: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
   Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
   EJEMPLO 1: Cómo escribir un sistema mediante su representación matricial
   Teorema 1
   EJEMPLO 2: Cómo escribir un número infinito de soluciones como una solución particular a un sistema no homogéneo más las soluciones al sistema homogéneo
   Solución
   AUTOEVALUACIÓN
   3.3: Desarrollo de competencias
   RESPUESTA A LA AUTOEVALUACIÓN
   3.4: Inversa de una matriz cuadrada
   Definición 1: Matriz identidad
   EJEMPLO 1: Dos matrices identidad
   Teorema 1: Sea A una matriz cuadrada de n × n. Entonces
   Definición 2: La inversa de una matriz
   Teorema 2
   Teorema 3
   EJEMPLO 2: Cálculo de la inversa de una matriz de 2 × 2
   Solución
   EJEMPLO 3: Una matriz de 2 × 2 que no es invertible
   Solución
   Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
   Teorema 4
   EJEMPLO 4: Cálculo de la inversa de una matriz de 2 × 2
   Solución
   EJEMPLO 5: Una matriz de 2 × 2 que no es invertible
   Solución
   EJEMPLO 6: Cálculo de la inversa de una matriz de 3 × 3
   Solución
   EJEMPLO 7: Una matriz de 3 × 3 que no es invertible
   Solución
   Definición 3: Matrices equivalentes por renglones
   Teorema 5
   EJEMPLO 8: Uso de la inversa de una matriz para resolver un sistema de ecuaciones
   Solución
   EJEMPLO 9: La tecnología y las matrices de Leontief: modelo de la economía estadounidense en 1958
   TABLA 3.1
   TABLA 3.2: Demandas internas en 1958 en la economía de Estados Unidos
   TABLA 3.3: Demandas externas sobre la economía de Estados Unidos en 1958 (en millones de dólares)
   Teorema 6: Teorema de resumen
   Teorema 7
   AUTOEVALUACIÓN
   3.4: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   Uso de las TIC
   3.5: Transpuesta de una matriz
   Definición 1: Transpuesta
   EJEMPLO 1: Obtención de las transpuestas de tres matrices
   Solución
   Teorema 1
   Definición 2: Matriz simétrica
   EJEMPLO 2: Cuatro matrices simétricas
   AUTOEVALUACIÓN
   3.5: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   Uso de las TIC
   3.6: Matrices elementales y matrices inversas
   Definición 1: Matriz elemental
   EJEMPLO 1: Tres matrices elementales
   Teorema 1
   EJEMPLO 2: Operaciones elementales mediante la multiplicación por matrices elementales
   Solución
   TABLA 3.4
   Teorema 2
   Teorema 3
   EJEMPLO 3: Cómo escribir una matriz invertible como el producto de matrices elementales
   Solución
   Teorema 4: Teorema de resumen
   Definición 2: Matriz triangular superior y matriz triangular inferior
   EJEMPLO 4: Dos matrices triangulares superiores y dos matrices triangulares inferiores
   Teorema 5
   EJEMPLO 5: Cómo escribir una matriz como el producto de matrices elementales y una matriz triangular superior
   Solución
   AUTOEVALUACIÓN
   3.6: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   3.7: Determinantes
   Definición 1
   Definición 2: Determinante de 3 × 3
   EJEMPLO 1: Cálculo de un determinante de 3 × 3
   Solución
   EJEMPLO 2: Cálculo de un determinante de 3 × 3
   Solución
   EJEMPLO 3: Cálculo de un determinante de 3 × 3 usando el nuevo método
   Solución
   Definición 3: Menor
   EJEMPLO 4: Cálculo de dos menores de una matriz de 3 × 3
   Solución
   EJEMPLO 5: Cálculo de dos menores de una matriz de 4 × 4
   Solución
   Definición 4: Cofactor
   EJEMPLO 6: Cálculo de dos cofactores de una matriz de 4 × 4
   Definición 5: Determinante n × n
   EJEMPLO 7: Cálculo del determinante de una matriz de 4 × 4
   Solución
   Definición 6: Matriz triangular
   EJEMPLO 8: Seis matrices triangulares
   EJEMPLO 9: El determinante de una matriz triangular inferior
   Solución
   Teorema 1
   EJEMPLO 10: Determinantes de seis matrices triangulares
   Teorema 2
   FIGURA 3.3
   Teorema 3
   AUTOEVALUACIÓN
   3.7: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   Uso de las TIC
   3.8: Propiedades de los determinantes
   Teorema 1
   EJEMPLO 1: Ilustración del hecho de que det AB = det A det B
   Solución
   Teorema 2
   EJEMPLO 2: Una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante
   Teorema 3: Teorema básico de los determinantes
   EJEMPLO 3: Obtención del determinante expandiendo en el segundo renglón o la tercera columna
   Propiedad 1
   EJEMPLO 4: Si A tiene un renglón o columna de ceros, entonces det A = 0
   Propiedad 2
   EJEMPLO 5: Ilustración de la propiedad 2
   Propiedad 3
   EJEMPLO 6: Ilustración de la propiedad 3
   Propiedad 4
   EJEMPLO 7: Ilustración de la propiedad 4
   Propiedad 5
   EJEMPLO 8: Ilustración de la propiedad 5
   Propiedad 6
   EJEMPLO 9: Ilustración de la propiedad 6
   EJEMPLO 10: Otra ilustración de la propiedad 6
   Propiedad 7
   EJEMPLO 11: Ilustración de la propiedad 7
   EJEMPLO 12: Utilice las propiedades de los determinantes para calcular un determinante de 4 × 4
   Solución
   EJEMPLO 13: Uso de las propiedades para calcular un determinante de 4 × 4
   Solución
   EJEMPLO 14: Uso de las propiedades para calcular un determinante de 5 × 5
   Solución
   Teorema 4
   AUTOEVALUACIÓN
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   3.8: Desarrollo de competencias
   3.9: Demostración de tres teoremas importantes y algo de historia
   Teorema 1: Teorema básico
   Lema 1
   Lema 2
   Teorema 2
   Teorema 3
   Nota biográfica
   Breve historia de los determinantes
   3.9: Desarrollo de competencias
   3.10: Determinantes e inversas
   Teorema 1
   Definición 1: La adjunta
   EJEMPLO 1: Cálculo de la adjunta de una matriz de 3 × 3
   Solución
   EJEMPLO 2: Cálculo de la adjunta de una matriz de 4 × 4
   Solución
   EJEMPLO 3: La adjunta de una matriz de 2 × 2
   Teorema 2
   Teorema 3
   EJEMPLO 4: Uso del determinante y la adjunta para calcular la inversa
   Solución
   EJEMPLO 5: Cálculo de la inversa de una matriz de 4 × 4 usando el determinante y la adjunta
   Solución
   Teorema 4: Teorema de resumen
   AUTOEVALUACIÓN
   3.10: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   3.11: Regla de Cramer
   Teorema 1: Regla de Cramer
   EJEMPLO 1: Solución de un sistema de 3 × 3 utilizando la regla de Cramer
   Solución
   EJEMPLO 2: Solución de un sistema de 4 × 4 usando la regla de Cramer
   Solución
   AUTOEVALUACIÓN
   3.11: Desarrollo de competencias
   FIGURA 3.4
   RESPUESTA A LA AUTOEVALUACIÓN
   Resumen
   Competencia final de la unidad 3
Unidad 4: ESPACIOS VECTORIALES
   Competencia específica
   Competencias genéricas
   4.1: Introducción
   4.2: Definición y propiedades básicas
   Definición 1: Espacio vectorial real
   Axiomas de un espacio vectorial
   EJEMPLO 1: El espacio ℝn
   EJEMPLO 2: Espacio vectorial trivial
   EJEMPLO 3: Conjunto que no es un espacio vectorial
   EJEMPLO 4: El conjunto de puntos en ℝ2 que se encuentran en una recta que pasa por el origen constituye un espacio vectorial
   EJEMPLO 5: El conjunto de puntos en ℝ2 que se encuentran sobre una recta que no pasa por el origen no constituye un espacio vectorial
   EJEMPLO 6: El conjunto de puntos en ℝ3 que se encuentran en un plano que pasa por el origen constituye un espacio vectorial
   EJEMPLO 7: El espacio vectorial Pn
   EJEMPLO 8: Los espacios vectoriales C [0, 1] y C [a, b]
   EJEMPLO 9: El espacio vectorial Mnm
   EJEMPLO 10: Un conjunto de matrices invertibles puede no formar un espacio vectorial
   EJEMPLO 11: Un conjunto de puntos en un semiplano puede no formar un espacio vectorial
   EJEMPLO 12: El espacio ℂn
   Teorema 1
   DEMOSTRACIÓN
   AUTOEVALUACIÓN
   4.2: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   4.3: Subespacios
   Definición 1: Subespacio
   Teorema 1: Subespacio
   Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacío es un subespacio
   DEMOSTRACIÓN
   EJEMPLO 1: El subespacio trivial
   EJEMPLO 2: Un espacio vectorial es un subespacio en sí mismo
   EJEMPLO 3: Un subespacio propio de ℝ2
   EJEMPLO 4: Un subespacio propio de ℝ3
   EJEMPLO 5: Otro subespacio propio de ℝ3
   EJEMPLO 6: ℝ no tiene subespacios propios
   EJEMPLO 7: Algunos subespacios propios de Pn
   EJEMPLO 8: Un subespacio propio de Mmn
   EJEMPLO 9: Un subconjunto que no es un subespacio propio de Mmn
   EJEMPLO 10: Un subespacio propio de C [0, 1]
   EJEMPLO 11: C1 [0, 1] es un subespacio propio de C [0, 1]
   EJEMPLO 12: Otro subespacio propio de C [0, 1]
   Teorema 2
   DEMOSTRACIÓN
   EJEMPLO 13: La intersección de dos subespacios de ℝ3 es un subespacio
   AUTOEVALUACIÓN
   4.3: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   4.4: Combinación lineal y espacio generado
   Definición 1: Combinación lineal
   EJEMPLO 1: Una combinación lineal en ℝ3
   EJEMPLO 2: Una combinación lineal en M23
   EJEMPLO 3: Combinaciones lineales en Pn
   Definición 2: Conjunto generador
   EJEMPLO 4: Conjunto de vectores que generan ℝ2 y ℝ3
   EJEMPLO 5: n + 1 vectores que generan a Pn
   EJEMPLO 6: Cuatro vectores que generan a M22
   EJEMPLO 7: Ningún conjunto finito de polinomios generan a P
   Definición 3: Espacio generado por un conjunto de vectores
   Teorema 1
   DEMOSTRACIÓN
   EJEMPLO 8: El espacio generado por dos vectores en ℝ3
   FIGURA 4.1
   FIGURA 4.2
   Teorema 2
   AUTOEVALUACIÓN
   4.4: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   4.5: Independencia lineal
   Definición 1: Dependencia e independencia lineal
   Teorema 1: Dependencia e independencia lineal
   DEMOSTRACIÓN
   EJEMPLO 1: Dos vectores linealmente dependientes en ℝ4
   EJEMPLO 2: Dos vectores linealmente dependientes en ℝ3
   EJEMPLO 3: Determinación de la dependencia o independencia lineal de tres vectores en ℝ3
   Solución
   EJEMPLO 4: Determinación de la dependencia lineal de tres vectores en ℝ3
   Solución
   Interpretación geométrica de la dependencia lineal en ℝ3
   FIGURA 4.3
   Teorema 2
   EJEMPLO 5: Cuatro vectores en ℝ3 que son linealmente dependientes
   Teorema 3
   EJEMPLO 6: Soluciones a un sistema homogéneo escritas como combinaciones lineales de vectores solución linealmente independientes
   Solución
   Teorema 4
   DEMOSTRACIÓN
   Teorema 5
   DEMOSTRACIÓN
   Teorema 6: Teorema de resumen
   DEMOSTRACIÓN
   Teorema 7
   DEMOSTRACIÓN
   EJEMPLO 7: Tres vectores en ℝ3 generan ℝ3 si su determinante es diferente de cero
   EJEMPLO 8: Tres matrices linealmente independientes en M23
   Solución
   EJEMPLO 9: Cuatro polinomios linealmente independientes en P3
   Solución
   EJEMPLO 10: Tres polinomios linealmente independientes en P2
   Solución
   AUTOEVALUACIÓN
   4.5: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   4.6: Bases y dimensión
   Definición 1: Base
   EJEMPLO 1: Base canónica para Pn
   EJEMPLO 2: Base canónica para M22
   EJEMPLO 3: Una base para un subespacio de ℝ3
   Solución
   Teorema 1
   Teorema 2
   DEMOSTRACIÓN
   Definición 2: Dimensión
   EJEMPLO 4: La dimensión de ℝn
   EJEMPLO 5: La dimensión de Pn
   EJEMPLO 6: La dimensión de Mmn
   EJEMPLO 7: P tiene dimensión infinita
   Teorema 3
   DEMOSTRACIÓN
   Teorema 4
   EJEMPLO 8: C[0, 1] y C1[0, 1] tienen dimensión infinita
   EJEMPLO 9: Los subespacios de ℝ3
   EJEMPLO 10: Espacios de solución y espacio nulo
   EJEMPLO 11: Una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo
   Solución
   EJEMPLO 12: Una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo
   Solución
   Teorema 5
   DEMOSTRACIÓN
   AUTOEVALUACIÓN
   4.6: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   4.7: Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
   Definición 1: Espacio nulo y nulidad de una matriz
   EJEMPLO 1: Espacio nulo y nulidad de una matriz de 2 × 3
   EJEMPLO 2: Espacio nulo y nulidad de una matriz de 3 × 3
   Teorema 1
   DEMOSTRACIÓN
   Definición 2: Imagen de una matriz
   Teorema 2
   DEMOSTRACIÓN
   Definición 3: Rango de una matriz
   Definición 4: Espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
   Teorema 3
   DEMOSTRACIÓN
   EJEMPLO 3: CÁlculo de NA, ν(A), imagen A, ρ(A), RA y CA para una matriz de 2 × 3
   Teorema 4
   DEMOSTRACIÓN
   EJEMPLO 4: CÁlculo de im(A) y ρ(A) para una matriz de 3 × 3
   Solución
   Teorema 5
   DEMOSTRACIÓN
   Teorema 6
   EJEMPLO 5: CÁlculo de ρ(A) y RA para una matriz de 3 × 3
   EJEMPLO 6: Determinación de una base para el espacio generado por cuatro vectores en ℝ3
   Solución
   EJEMPLO 7: CÁlculo del espacio nulo de una matriz de 4 × 4
   Solución
   Teorema 7
   DEMOSTRACIÓN
   EJEMPLO 8: Ilustración de que ρ(A) + ν(A) = n
   EJEMPLO 9: Ilustración de que ρ(A) + ν(A) = n
   Solución
   Teorema 8
   DEMOSTRACIÓN
   Teorema 9
   DEMOSTRACIÓN
   EJEMPLO 10: Uso del teorema 9 para determinar si un sistema tiene soluciones
   Solución
   EJEMPLO 11: Uso del teorema 9 para determinar si un sistema tiene soluciones
   Solución
   Teorema 10: Teorema de resumen
   AUTOEVALUACIÓN
   4.7: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   Uso de las TIC
   4.8: Cambio de base
   FIGURA 4.4
   Definición 1: Matriz de transición
   Teorema 1
   DEMOSTRACIÓN
   Teorema 2
   DEMOSTRACIÓN
   EJEMPLO 1: Expresión de vectores en ℝ3 en términos de una nueva base
   Solución
   EJEMPLO 2: Expresión de polinomios en P2 en términos de una nueva base
   Solución
   EJEMPLO 3: Conversión de una base a otra en ℝ2
   Solución
   Teorema 3
   DEMOSTRACIÓN
   EJEMPLO 4: Determinación de si tres polinomios en P2 son linealmente dependientes o independientes
   Solución
   EJEMPLO 5: Determinación de si cuatro matrices de 2 × 2 son linealmente dependientes o independientes
   Solución
   AUTOEVALUACIÓN
   4.8: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIóN
   4.9: Bases ortonormales
   Definición 1: Conjunto ortonormal en ℝn
   Definición 2: Longitud o norma de un vector
   EJEMPLO 1: La norma de un vector en ℝ2
   EJEMPLO 2: La norma de un vector en ℝ3
   EJEMPLO 3: La norma de un vector en ℝ5
   Teorema 1
   DEMOSTRACIÓN
   Teorema 2: Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
   DEMOSTRACIÓN
   FIGURA 4.5
   EJEMPLO 4: Construcción de una base ortonormal en ℝ3
   Solución
   EJEMPLO 5: Una base ortonormal para un subespacio de ℝ3
   Solución
   FIGURA 4.6
   Definición 3: Matriz ortogonal
   Teorema 3
   DEMOSTRACIÓN
   EJEMPLO 6: Una matriz ortogonal
   AUTOEVALUACIÓN
   4.9: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   4.10: Espacios con producto interno
   Definición 1: Espacio con producto interno
   EJEMPLO 1: Un producto interno en ℝn
   EJEMPLO 2: Un producto interno en ℂn
   EJEMPLO 3: Producto interno de dos vectores en ℂ3
   EJEMPLO 4: Un producto interno en C [a, b]
   EJEMPLO 5: El producto interno de dos funciones en C [0, 1]
   Definición 2
   EJEMPLO 6: Dos vectores ortogonales en ℂ2
   EJEMPLO 7: Dos funciones ortogonales en C [0, 2π]
   Definición 3: Conjunto ortonormal
   Teorema 1
   Teorema 2
   EJEMPLO 8: Una base ortonormal P2[0, 1]
   Solución
   EJEMPLO 9: Un conjunto ortonormal infinito C [0, 2π]
   AUTOEVALUACIÓN
   4.10: Desarrollo de competencias
   Resumen
   Competencia final de la unidad 4
Unidad 5: TRANSFORMACIONES LINEALES
   Competencia específica
   Competencias genéricas
   5.1: Definición y ejemplos
   EJEMPLO 1: Reflexión respecto al eje x
   FIGURA 5.1
   EJEMPLO 2: Transformación de un vector de producción en un vector de materia prima
   Definición 1: Transformación lineal
   EJEMPLO 3: Una transformación lineal de ℝ2 en ℝ3
   EJEMPLO 4: La transformación cero
   EJEMPLO 5: La transformación identidad
   EJEMPLO 6: Transformación de reflexión
   FIGURA 5.2
   EJEMPLO 7: Transformación de ℝn → ℝm dada por la multiplicación por una matriz de m × n
   EJEMPLO 8: Transformación de rotación
   FIGURA 5.3
   EJEMPLO 9: Transformación de proyección ortogonal
   EJEMPLO 10: Dos operadores de proyección
   FIGURA 5.4
   EJEMPLO 11: Operador de transposición
   EJEMPLO 12: Operador integral
   EJEMPLO 13: Operador diferencial
   Advertencia
   EJEMPLO 14: Una transformación que no es lineal
   AUTOEVALUACIÓN
   Falso-verdadero
   5.1: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   5.2: Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo
   Teorema 1
   DEMOSTRACIÓN
   Teorema 2
   DEMOSTRACIÓN
   EJEMPLO 1: Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector
   Solución
   Teorema 3
   DEMOSTRACIÓN
   EJEMPLO 2: Definición de una transformación lineal de ℝ2 en un subespacio de ℝ3
   Solución
   Definición 1: Núcleo e imagen de una transformación lineal
   Teorema 4
   DEMOSTRACIÓN
   EJEMPLO 3: Núcleo e imagen de la transformación cero
   EJEMPLO 4: Núcleo e imagen de la transformación identidad
   EJEMPLO 5: Núcleo e imagen de un operador de proyección
   Definición 2: Nulidad y rango de una transformación lineal
   EJEMPLO 6: Núcleo e imagen de un operador traspuesto
   EJEMPLO 7: Núcleo e imagen de una transformación de P3 en P2
   EJEMPLO 8: Núcleo e imagen de un operador integral
   AUTOEVALUACIÓN
   5.2 Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   5.3: Representación matricial de una transformación lineal
   Teorema 1
   DEMOSTRACIÓN
   Definición 1: Matriz de transformación
   Teorema 2
   EJEMPLO 1: Representación matricial de una transformación de proyección
   Solución
   EJEMPLO 2: Representación matricial de una transformación de ℝ3 en ℝ4
   Solución
   EJEMPLO 3: Representación matricial de una transformación de ℝ3 en ℝ3
   Solución
   EJEMPLO 4: Representación matricial de una transformación cero
   EJEMPLO 5: Representación matricial de una transformación cero
   Teorema 3
   DEMOSTRACIÓN
   Teorema 4
   EJEMPLO 6: Representación matricial de una transformación de P2 en P3
   Solución
   EJEMPLO 7: Representación matricial de una transformación de P3 en P2
   Solución
   EJEMPLO 8: Representación matricial relativa a dos bases no estándar en ℝ2
   Solución
   EJEMPLO 9: La representación matricial de una transformación lineal respecto a dos bases no estándar en ℝ2 puede ser diagonal
   Solución
   Teorema 5
   Expansiones a lo largo de los ejes x o y
   FIGURA 5.5
   Compresión a lo largo de los ejes x o y
   FIGURA 5.6
   Reflexiones
   FIGURA 5.7
   Cortes
   FIGURA 5.8
   FIGURA 5.9
   TABLA 5.1: Transformaciones lineales especiales de ℝ2 en ℝ2
   TABLA 5.2: Matrices elementales en ℝ2
   Teorema 6
   DEMOSTRACIÓN
   Teorema 7
   EJEMPLO 10: Descomposición de una transformación lineal en ℝ2 en una sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones
   FIGURA 5.10
   AUTOEVALUACIÓN
   5.3: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   Resumen
   Competencia final de la unidad 5
Back Matter
   Apéndice A: VALORES CARACTERÍSTICOS, VECTORES CARACTERÍSTICOS Y FORMAS CANÓNICAS
   A.1: Valores característicos y vectores característicos
   Definición 1: Valor característico y vector característico
   EJEMPLO 1: Valores característicos y vectores característicos de una matriz de 2 ×2
   EJEMPLO 2: Valores característicos y vectores característicos de la matriz identidad
   Teorema 1
   Definición 2: Ecuación y polinomio característicos
   Teorema 2
   Definición 3: Espacio característico
   Teorema 3
   EJEMPLO 3: Cálculo de valores y vectores característicos
   EJEMPLO 4: Una matriz de 3 × 3 con valores característicos distintos
   EJEMPLO 5: Una matriz de 2 ×2 con uno de sus valores característicos iguales a cero
   EJEMPLO 6: Una matriz de 2 ×2 con valores característicos conjugados complejos
   Teorema 4
   EJEMPLO 7: Valores característicos de una matriz triangular
   EJEMPLO 8: Una matriz de 2 ×2 con un valor característico y dos vectores característicos linealmente independientes
   EJEMPLO 9: Una matriz de 2 ×2 con un valor característico y sólo un vector característico independiente
   EJEMPLO 10: Una matriz de 3 × 3 con dos valores característicos y tres vectores característicos linealmente independientes
   EJEMPLO 11: Una matriz de 3 × 3 con un valor característico y sólo un vector característico linealmente independiente
   EJEMPLO 12: Una matriz de 3 × 3 con un valor característico y dos vectores característicos linealmente independientes
   Definición 4: Multiplicidad geométrica
   Teorema 5
   Teorema 6
   Teorema 7: Teorema de resumen (punto de vista 7)
   AUTOEVALUACIÓN
   A.1: Desarrollo de competencias
   Uso de las TIC
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   A.2: Matrices semejantes y diagonalización
   Definición 1 Matrices semejantes
   EJEMPLO 1: Dos matrices semejantes
   EJEMPLO 2: Una matriz semejante a una matriz diagonal
   Teorema 1
   EJEMPLO 3: Los valores característicos de matrices semejantes son los mismos
   Definición 2 Matriz diagonalizable
   Teorema 2
   EJEMPLO 4: Diagonalización de una matriz de 2 ×2
   EJEMPLO 5: Diagonalización de una matriz de 3 × 3 con tres valores característicos distintos
   EJEMPLO 6: Diagonalización de una matriz de 3 × 3 con dos valores característicos distintos y tres vectores característicos linealmente independientes
   EJEMPLO 7: Una matriz de 2 × 2 con sólo un vector característico linealmente independiente que no se puede diagonalizar
   AUTOEVALUACIÓN
   A.2: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   A.3: Formas cuadráticas y secciones cónicas
   Definición 1 Ecuación cuadrática y forma cuadrática
   EJEMPLO 1: Expresión de una forma cuadrática en las nuevas variables x′ y y′ sin el término x′y′
   Teorema 1 Teorema de los ejes principales en ℝ2
   EJEMPLO 2: Identificación de una hipérbola
   Solución
   FIGURA A.1
   EJEMPLO 3: Una elipse
   Solución
   FIGURA A.2
   EJEMPLO 4: Una sección cónica degenerada
   Solución
   EJEMPLO 5: Una elipsoide
   FIGURA A.3
   Definición 2 Forma cuadrática
   EJEMPLO 6: Una forma cuadrática en cuatro variables
   EJEMPLO 7: Una matriz simétrica que corresponde a una forma cuadrática en cuatro variables
   Solución
   AUTOEVALUACIÓN
   A.3: Desarrollo de competencias
   RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN
   FÓRMULAS MATEMÁTICAS
   Formulario básico
   Repaso de álgebra
   Enteros
   Enteros positivos (números naturales)
   Enteros no negativos (números enteros)
   Números racionales
   Números irracionales
   Números reales
   Leyes de exponentes
   Exponente negativo
   Radical
   Exponentes racionales y radicales
   Fórmula cuadrática
   Expansiones binomiales
   Triángulo de Pascal
   Fórmulas de factorización
   Definición del valor absoluto
   Propiedades de desigualdades
   Fórmulas de geometría
   Gráficas y funciones
   Para encontrar intersecciones
   Funciones de polinomios
   Función lineal
   Función cuadrática
   Vértice (h, k) de una parábola
   Funciones par e impar
   Transformaciones rígidas
   Función racional
   Asíntotas
   Función potencia
   Revisión de trigonometría
   Definición de seno y coseno de acuerdo con el círculo unitario
   Otras funciones trigonométricas
   Fórmulas de conversión
   Definición de seno y coseno de acuerdo con el triángulo recto
   Otras funciones trigonométricas
   Signos de seno y coseno
   Valores de seno y coseno para ángulos especiales
   Límites para las funciones seno y coseno
   Periodicidad de las funciones trigonométricas
   Identidades de cofunción
   Identidades pitagóricas
   Identidades par/impar
   Fórmulas de suma
   Fórmulas de diferencia
   Fórmulas del ángulo doble
   Fórmulas alternas del ángulo doble para coseno
   Fórmulas del medio ángulo como se usa en cálculo
   Leyes de los senos
   Leyes de los cosenos
   Funciones trigonométricas inversas
   Ciclos para seno, coseno y tangente
   Funciones exponencial y logarítmica
   El número
   Definiciones del número e
   Función exponencial
   Función exponencial natural
   Función logarítmica
   Función logarítmica natural
   Leyes de logaritmos
   Propiedades de logaritmos
   Cambio de la base b a la base e
   Funciones hiperbólicas
   Funciones hiperbólicas inversas como logaritmos
   Identidades par/impar
   Identidades adicionales
   Diferenciación
   Reglas
   Funciones
   Fórmulas de integración
   Formas b´sicas
   Formas que implican a2+u2
   Formas que implican a2−u2
   Formas que implican u2−a2
   Formas que implican a + bu
   Formas trigonométricas
   Formas trigonométricas inversas
   Formas exponenciales y logarítmicas
   Formas hiperbólicas
   Formas que implican 2au−u2
   Algunas integrales definidas
   Respuestas a la evaluación diagnóstica
   Evaluación diagnóstica, página xiv
   Respuestas de los problemas impares
   Problemas 1.1
   Problemas 2.2
   Problemas 2.3
   Problemas 2.4
   Ejercicios de repaso de la unidad 2
   Problemas 3.1
   Problemas 3.2
   Problemas 3.3
   Problemas 3.4
   Problemas 3.5
   Problemas 3.6
   Problemas 3.7
   Problemas 3.8
   Problemas 3.9
   Problemas 3.10
   Problemas 3.11
   Ejercicios de repaso de la unidad 3
   Problemas 4.2
   Problemas 4.3
   Problemas 4.4
   Problemas 4.5
   Problemas 4.6
   Problemas 4.7
   Problemas 4.8
   Problemas 4.9
   Problemas 4.10
   Ejercicios de repaso de la unidad 4
   Problemas 5.1
   Problemas 5.2
   Problemas 5.3
   Ejercicios de repaso de la unidad 5
   Problemas A.1
   Problemas A.2
   Problemas A.3
   Índice analítico