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Descripción:
Anteriormente el estudio del álgebra lineal era parte de los planes de estudios de los alumnos
de matemáticas y física principalmente, y también recurrían a ella aquellos que necesitaban
conocimientos de la teoría de matrices para trabajar en áreas técnicas como la estadística multivariable.
Hoy en día, el álgebra lineal se estudia en diversas disciplinas gracias al uso de las
computadoras y al aumento general en las aplicaciones de las matemáticas en áreas que, por
tradición, no son técnicas. Esta edición ofrece nuevas características, y conserva la estructura ya probada y clásica que
tienen las otras ediciones de mi obra Álgebra lineal.
Tabla de contenidos:
Front Matter
PRÓLOGO A ESTA EDICIÓN
Las competencias y el álgebra lineal
Materiales de apoyo
AGRADECIMIENTOS ESPECIALES
PREFACIO DEL AUTOR
Prerrequisitos
Aplicaciones
TeorÍa
CARACTERÍSTICAS
Ejemplos
Ejercicios
Teorema de resumen
AutoevaluaciÓn
Manejo de calculadora
ResÚmenes de capÍtulo
GeometrÍa
Semblanzas histÓricas
CaracterÍsticas de MatemÁticas 4. Álgebra lineal
NumeraciÓn
AGRADECIMIENTOS
Unidad 1: NÚMEROS COMPLEJOS
Competencia especÍfica a desarrollar
EJEMPLO 1
DefiniciÓn 1
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
Plano complejo
Figura 1.1
Conjugado
Figura 1.2
EJEMPLO 4
NÚmero imaginario
Magnitud
Argumento
Figura 1.3
Figura 1.4
Forma polar
EJEMPLO 5
Figura 1.5
EJEMPLO 6
EJEMPLO 7
DemostraciÓn de la identidad de Euler
Desarrollo de competencias. Unidad 1
Unidad 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Competencia especÍfica a desarrollar
2.1: IntroducciÓn
2.2: Dos ecuaciones lineales con dos incÓgnitas
EJEMPLO 1: Sistema con una solución única
EJEMPLO 2: Sistema con un número infinito de soluciones
EJEMPLO 3: Sistema sin solución
Figura 2.1
Sistemas equivalentes
Teorema 1: Teorema de resumen
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias 2.2
Respuestas a la AutoevaluaciÓn
2.3: m ecuaciones con n incÓgnitas: eliminaciÓn de Gauss-Jordan y gaussiana
EJEMPLO 1: Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: solución única
EliminaciÓn de Gauss-Jordan
Matriz
Matriz de coeficientes
Matriz m × n
Matriz aumentada
Operaciones elementales con renglones
ReducciÓn por renglones
EJEMPLO 2: Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: número infinito de soluciones
EJEMPLO 3: Sistema inconsistente
DefiniciÓn 1: Sistemas inconsistentes y consistentes
DefiniciÓn 2: Forma escalonada reducida por renglones y pivote
EJEMPLO 4: Cinco matrices en la forma escalonada reducida por renglones
DefiniciÓn 3: Forma escalonada por renglones
EJEMPLO 5: Cinco matrices en la forma escalonada por renglones
EJEMPLO 6: Solución de un sistema mediante eliminación gaussiana
SustituciÓn hacia atrÁs
EliminaciÓn gaussiana
EJEMPLO 7: Solución de un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas
EJEMPLO 8: Un problema de administración de recursos
EJEMPLO 9: El modelo de insumo-producto de Leontief
EJEMPLO 10: El modelo de Leontief aplicado a un sistema económico con tres industrias
Figura 2.2
Figura 2.3
Figura 2.4
Figura 2.5
Figura 2.6
Semblanza de… Carl Friedrich Gauss, 1777-1855
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias 2.3
Respuestas a la autoevaluaciÓn
MANEJO DE LA CALCULADORA
2.4: Sistemas homogÉneos de ecuaciones
SoluciÓn trivial o soluciÓn cero
Soluciones no triviales
EJEMPLO 1: Sistema homogéneo que tiene únicamente la solución trivial
EJEMPLO 2: Un sistema homogéneo con un número infinito de soluciones
EJEMPLO 3: Un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene
Teorema 1
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias 2.4
Respuestas a la autoevaluaciÓn
MANEJO DE LA CALCULADORA
Resumen
COMPETENCIAS FINALES. UNIDAD 2
Unidad 3: MATRICES Y DETERMINANTES
Competencia especÍfica a desarrollar
3.1: Vectores y matrices
DefiniciÓn 1: Vector renglón de n componentes
DefiniciÓn 2: Vector columna de n componentes
Componentes de un vector
Vector cero
EJEMPLO 1: Cuatro vectores
ADVERTENCIA
El espacio símbolo
DefiniciÓn 3: Matriz
Renglones y columnas de una matriz
Componente o elemento
Matriz cuadrada
Matriz cero
Tamaño de una matriz
EJEMPLO 2: Cinco matrices
EJEMPLO 3: Localización de las componentes de una matriz
DefiniciÓn 4: Igualdad de matrices
EJEMPLO 4: Matrices iguales y matrices distintas
DefiniciÓn 5: Suma de matrices
ADVERTENCIA
EJEMPLO 5: Suma de dos matrices
Escalares
DefiniciÓn 6: Multiplicación de una matriz por un escalar
EJEMPLO 6: Múltiplos escalares de matrices
EJEMPLO 7: Suma de múltiplos escalares de dos vectores
Teorema 1
EJEMPLO 8: Ilustración de la ley asociativa para la suma de matrices
AutoevaluaciÓn
Semblanza de… Sir William Rowan Hamilton, 1805-1865
Desarrollo de competencias 3.1
Figura 3.1
Figura 3.2
Respuestas a la autoevaluaciÓn
MANEJO DE LA CALCULADORA
Suma y multiplicación por un escalar en la HP50g
3.2: Productos vectorial y matricial
EJEMPLO 1: Producto de un vector de demanda y un vector de precios
DefiniciÓn 1: Producto escalar
ADVERTENCIA
EJEMPLO 2: Producto escalar de dos vectores
EJEMPLO 3: Producto escalar de dos vectores
Teorema 1
DefiniciÓn 2: Producto de dos matrices
ADVERTENCIA
EJEMPLO 4: Producto de dos matrices de 2 × 2
EJEMPLO 5: El producto de una matriz de 2 × 3 y una de 3 × 4 está definido pero el producto de una matriz 3 × 4 y una de 2 × 3 no lo está
EJEMPLO 6: Contacto directo e indirecto con una enfermedad contagiosa
Teorema 2
Teorema 3
EJEMPLO 7: Cómo escribir las columnas de AB como combinación lineal de las columnas de A
EJEMPLO 8: Multiplicación por bloques
EJEMPLO 9: Dos matrices que son conmutativas
Signo de sumatoria
Índice de la suma
EJEMPLO 10: Interpretación de la notación de sumatoria
EJEMPLO 11: Interpretación de la notación de sumatoria
EJEMPLO 12: Interpretación de la notación de sumatoria
EJEMPLO 13: Cómo escribir una suma usando la notación de sumatoria
EJEMPLO 14: Cómo escribir el producto escalar haciendo uso de la notación de sumatoria
Demonstrción de los teoremas 2 Y 3
Ley asociativa
Leyes distributivas
Semblanza de… Arthur Cayley y el álgebra de matrices
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias 3.2
Vectores ortogonales
Respuestas a la autoevaluación
MANEJO DE LA CALCULADORA
3.3: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
EJEMPLO 1: Cómo escribir un sistema mediante su representación matricial
Sistema homogéneo asociado
Teorema 1
DemostraciÓn
Corolario
DemostraciÓn
EJEMPLO 2: Cómo escribir un número infinito de soluciones como una solución particular a un sistema no homogéneo más las soluciones al sistema homogéneo
Autoevaluación
Desarrollo de competencias 3.3
Respuesta a la autoevaluación
3.4: Inversa de una matriz cuadrada
DefiniciÓn 1: Matriz identidad
EJEMPLO 1: Dos matrices identidad
Teorema 1
DemostraciÓn
DefiniciÓn 2: La inversa de una matriz
Teorema 2
DemostraciÓn
Teorema 3
DemostraciÓn
EJEMPLO 2: Cálculo de la inversa de una matriz de 2 × 2
EJEMPLO 3: Una matriz de 2 × 2 que no es invertible
Determinante de una matriz 2 × 2
Teorema 4
DemostraciÓn
EJEMPLO 4: Cálculo de la inversa de una matriz de 2 × 2
EJEMPLO 5: Una matriz de 2 × 2 que no es invertible
EJEMPLO 6: Cálculo de la inversa de una matriz de 3 × 3
ADVERTENCIA
EJEMPLO 7: Una matriz de 3 × 3 que no es invertible
DefiniciÓn 3: Matrices equivalentes por renglones
Teorema 5
EJEMPLO 8: Uso de la inversa de una matriz para resolver un sistema de ecuaciones
EJEMPLO 9: La tecnología y las matrices de Leontief: modelo de la economía estadounidense en 1958
Tabla 3.1
Tabla 3.2: Demandas internas en 1958 en la economía de Estados Unidos
Tabla 3.3: Demandas externas sobre la economía de Estados Unidos en 1958 (en millones de dólares)
Teorema 6: Teorema de resumen
DemostraciÓn
Teorema 7
DemostraciÓn
Autoevaluación
Desarrollo de competencias 3.4
Respuestas a la autoevaluación
MANEJO DE LA CALCULADORA
3.5: Transpuesta de una matriz
DefiniciÓn 1: Transpuesta
EJEMPLO 1: Obtención de las transpuestas de tres matrices
Teorema 1
DemostraciÓn
DefiniciÓn 2: Matriz simétrica
EJEMPLO 2: Cuatro matrices simétricas
Otra forma de escribir el producto escalar
Autoevaluación
Desarrollo de competencias 3.5
Respuestas a la autoevaluación
MANEJO DE LA CALCULADORA
3.6: Matrices elementales y matrices inversas
DefiniciÓn 1: Matriz elemental
EJEMPLO 1: Tres matrices elementales
Teorema 1
EJEMPLO 2: Operaciones elementales mediante la multiplicación por matrices elementales
Tabla 3.4
Teorema 2
Teorema 3
Demostración
EJEMPLO 3: Cómo escribir una matriz invertible como el producto de matrices elementales
Teorema 4: Teorema de resumen
DefiniciÓn 2: Matriz triangular superior y matriz triangular inferior
EJEMPLO 4: Dos matrices triangulares superiores y dos matrices triangulares inferiores
Teorema 5
Demostración
EJEMPLO 5: Cómo escribir una matriz como el producto de matrices elementales y una matriz triangular superior
Autoevaluación
Desarrollo de competencias 3.6
Respuestas a la autoevaluación
3.7: Determinantes
DefiniciÓn 1
DefiniciÓn 2: Determinante de 3 × 3
EJEMPLO 1: Cálculo de un determinante de 3 × 3
EJEMPLO 2: Cálculo de un determinante de 3 × 3
EJEMPLO 3: Cálculo de un determinante de 3 × 3 usando el nuevo método
ADVERTENCIA
DefiniciÓn 3: Menor
EJEMPLO 4: Cálculo de dos menores de una matriz de 3 × 3
EJEMPLO 5: Cálculo de dos menores de una matriz de 4 × 4
DefiniciÓn 4: Cofactor
EJEMPLO 6: Cálculo de dos cofactores de una matriz de 4 × 4
DefiniciÓn 5: Determinante n × n
EJEMPLO 7: Cálculo del determinante de una matriz de 4 × 4
DefiniciÓn 6: Matriz triangular
EJEMPLO 8: Seis matrices triangulares
EJEMPLO 9: El determinante de una matriz triangular inferior
Teorema 1
Demostración
EJEMPLO 10: Determinantes de seis matrices triangulares
Teorema 2
Demostración
Interpretación geométrica del determinante de 2 × 2
Figura 3.3
Teorema 3
Demostración
Autoevaluación
Desarrollo de competencias 3.7
Respuestas a la autoevaluación
MANEJO DE LA CALCULADORA
3.8: Propiedades de los determinantes
Teorema 1
Demostración
EJEMPLO 1: Ilustración del hecho de que det AB = det A det B
ADVERTENCIA
Teorema 2
Demostración
EJEMPLO 2: Una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante
Teorema 3
EJEMPLO 3: Obtención del determinante expandiendo en el segundorenglón o la tercera columna
Propiedad 1
Demostración
EJEMPLO 4: Si A tiene un renglón o columna de ceros, entonces det A = 0
Propiedad 2
Demostración
EJEMPLO 5: Ilustración de la propiedad 2
Propiedad 3
Demostración
EJEMPLO 6: Ilustración de la propiedad 3
Propiedad 4
Demostración
EJEMPLO 7: Ilustración de la propiedad 4
Propiedad 5
Demostración
EJEMPLO 8: Ilustración de la propiedad 5
Propiedad 6
Demostración
EJEMPLO 9: Ilustración de la propiedad 6
EJEMPLO 10: Otra ilustración de la propiedad 6
Propiedad 7
Demostración
EJEMPLO 11: Ilustración de la propiedad 7
EJEMPLO 12: Utilice las propiedades de los determinantes para calcular un determinante de 4 × 4
EJEMPLO 13: Uso de las propiedades para calcular un determinante de 4 × 4
EJEMPLO 14: Uso de las propiedades para calcular un determinante de 5 × 5
Teorema 4
Demostración
Autoevaluación
Respuestas a la autoevaluación
Desarrollo de competencias 3.8
3.9: Demostración de tres teoremas importantes y algo de historia
Teorema 1
DemostraciÓn
Lema 1
DemostraciÓn
Lema 2
Teorema 2
DemostraciÓn
Teorema 3
DemostraciÓn
Semblanza de… Breve historia de los determinantes
Desarrollo de competencias 3.9
3.10: Determinantes e inversas
Teorema 1
DemostraciÓn
DefiniciÓn 1: La adjunta
EJEMPLO 1: Cálculo de la adjunta de una matriz de 3 × 3
EJEMPLO 2: Cálculo de la adjunta de una matriz de 4 × 4
EJEMPLO 3: La adjunta de una matriz de 2 × 2
ADVERTENCIA
Teorema 2
DemostraciÓn
Teorema 3
DemostraciÓn
EJEMPLO 4: Uso del determinante y la adjunta para calcular la inversa
EJEMPLO 5: Cálculo de la inversa de una matriz de 4 × 4 usando el determinante y la adjunta
Teorema 4: Teorema de resumen
Autoevaluación
Desarrollo de competencias 3.10
Respuestas a la autoevaluación
3.11: Regla de Cramer
Teorema 1
DemostraciÓn
EJEMPLO 1: Solución de un sistema de 3 × 3 utilizando la regla de Cramer
EJEMPLO 2: Solución de un sistema de 4 × 4 usando la regla de Cramer
Autoevaluación
Desarrollo de competencias 3.11
Figura 3.4
Respuesta a la autoevaluación
Resumen
COMPETENCIAS FINALES. UNIDAD 3
Unidad 4: ESPACIOS VECTORIALES
Competencia especÍfica a desarrollar
4.1: IntroducciÓn
4.2: DefiniciÓn y propiedades bÁsicas
DefiniciÓn 1: Espacio vectorial real
Axiomas de un espacio vectorial
EJEMPLO 1: El espacio
EJEMPLO 2: Espacio vectorial trivial
EJEMPLO 3: Conjunto que no es un espacio vectorial
EJEMPLO 4: El conjunto de puntos en que se encuentran en una recta que pasa por el origen constituye un espacio vectorial
EJEMPLO 5: El conjunto de puntos en que se encuentran sobre una recta que no pasa por el origen no constituye un espacio vectorial
EJEMPLO 6: El conjunto de puntos en que se encuentran en un plano que pasa por el origen constituye un espacio vectorial
EJEMPLO 7: El espacio vectorial Pn
EJEMPLO 8: Los espacios vectoriales C[0, 1] y C[a, b]
EJEMPLO 9: El espacio vectorial Mnm
EJEMPLO 10: Un conjunto de matrices invertibles puede no formar un espacio vectorial
EJEMPLO 11: Un conjunto de puntos en un semiplano puede no formar un espacio vectorial
EJEMPLO 12: El espacio
Teorema 1
DemostraciÓn
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias 4.2
Respuestas a la autoevaluaciÓn
4.3: Subespacios
DefiniciÓn 1: Subespacio
Teorema 1: Subespacio
DemostraciÓn
EJEMPLO 1: El subespacio trivial
EJEMPLO 2: Un espacio vectorial es un subespacio en sí mismo
EJEMPLO 3: Un subespacio propio de
EJEMPLO 4: Un subespacio propio de
EJEMPLO 5: Otro subespacio propio de
EJEMPLO 6: no tiene subespacios propios
EJEMPLO 7: Algunos subespacios propios de Pn
EJEMPLO 8: Un subespacio propio de Mmn
EJEMPLO 9: Un subconjunto que no es un subespacio propio de Mmn
EJEMPLO 10: Un subespacio propio de C[0, 1]
EJEMPLO 11: C1[0, 1] es un subespacio propio de C[0, 1]
EJEMPLO 12: Otro subespacio propio de C[0, 1]
Teorema 2
DemostraciÓn
EJEMPLO 13: La intersección de dos subespacios de es un subespacio
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias 4.3
Respuestas a la autoevaluaciÓn
4.4: CombinaciÓn lineal y espacio generado
DefiniciÓn 1: Combinación lineal
EJEMPLO 1: Una combinación lineal en
EJEMPLO 2: Una combinación lineal en M23
EJEMPLO 3: Combinaciones lineales en Pn
DefiniciÓn 2: Conjunto generador
EJEMPLO 4: Conjunto de vectores que generan y
EJEMPLO 5: n + 1 vectores que generan a Pn
EJEMPLO 6: Cuatro vectores que generan a M22
EJEMPLO 7: Ningún conjunto finito de polinomios generan a P
DefiniciÓn 3: Espacio generado por un conjunto de vectores
Teorema 1
DemostraciÓn
EJEMPLO 8: El espacio generado por dos vectores en
Figura 4.1
Figura 4.2
Teorema 2
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias 4.4
Respuestas a la autoevaluaciÓn
4.5: Independencia lineal
DefiniciÓn 1: Dependencia e independencia lineal
Teorema 1: Dependencia e independencia lineal
DemostraciÓn
EJEMPLO 1: Dos vectores linealmente dependientes en
EJEMPLO 2: Dos vectores linealmente dependientes en
EJEMPLO 3: Determinación de la dependencia o independencia lineal de tres vectores en
EJEMPLO 4: Determinación de la dependencia lineal de tres vectores en
Figura 4.3
Teorema 2
EJEMPLO 5: Cuatro vectores en que son linealmente dependientes
Teorema 3
EJEMPLO 6: Soluciones a un sistema homogéneo escritas como combinaciones lineales de vectores solución linealmente independientes
Teorema 4
DemostraciÓn
Teorema 5
DemostraciÓn
Teorema 6: Teorema de resumen
DemostraciÓn
Teorema 7
DemostraciÓn
EJEMPLO 7: Tres vectores en generan si su determinante es diferente de cero
EJEMPLO 8: Tres matrices linealmente independientes en M23
EJEMPLO 9: Cuatro polinomios linealmente independientes en P3
EJEMPLO 10: Tres polinomios linealmente independientes en P2
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias 4.5
Respuestas a la autoevaluaciÓn
4.6: Bases y dinensiÓn
DefinitiÓn 1: Base
EJEMPLO 1: Base canónica para Pn
EJEMPLO 2: Base canónica para M22
EJEMPLO 3: Una base para un subespacio de
Teorema 1
Teorema 2
DemostraciÓn†
DefiniciÓn 2
EJEMPLO 4: La dimensión de
EJEMPLO 5: La dimensión de Pn
EJEMPLO 6: La dimensión de Mmn
EJEMPLO 7: P tiene dimensión infinita
Teorema 3
DemostraciÓn
Teorema 4
EJEMPLO 8: C[0, 1] y C1[0, 1] tienen dimensión infinita
EJEMPLO 9: Los subespacios de
EJEMPLO 10: Espacios de solución y espacio nulo
EJEMPLO 11: Una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo
EJEMPLO 12: Una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo
Teorema 5
DemostraciÓn
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias 4.6
Respuestas a la autoevaluaciÓn
4.7: Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
DefiniciÓn 1: Espacio nulo y nulidad de una matriz
EJEMPLO 1: Espacio nulo y nulidad de una matriz de 2 × 3
EJEMPLO 2: Espacio nulo y nulidad de una matriz de 3 × 3
Teorema 1
DemostraciÓn
DefiniciÓn 2: Imagen de una matriz
Teorema 2
DemostraciÓn
DefiniciÓn 3: Rango de una matriz
DefiniciÓn 4: Espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
Teorema 3
DemostraciÓn
EJEMPLO 3: Cálculo de NA, v(A), imagen A, ρ(A), RA y CA para una matriz de 2 × 3
Teorema 4
DemostraciÓn
EJEMPLO 4: Cálculo de Im(A) y ρ(A) para una matriz de 3 × 3
Teorema 5
DemostraciÓn
Teorema 6
EJEMPLO 5: Cálculo de ρ(A) y RA para una matriz de 3 × 3
EJEMPLO 6: Determinación de una base para el espacio generado por cuatro vectores en
EJEMPLO 7: Cálculo del espacio nulo de una matriz de 4 × 4
Teorema 7
DemostraciÓn
EJEMPLO 8: Ilustración de que ρ(A) + ν(A) = n
EJEMPLO 9: Ilustración de que ρ(A) + ν(A) = n
Teorema 8
DemostraciÓn
Teorema 9
DemostraciÓn
EJEMPLO 10: Uso del teorema 9 para determinar si un sistema tiene soluciones
EJEMPLO 11: Uso del teorema 9 para determinar si un sistema tiene soluciones
Teorema 10: Teorema de resumen
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias 4.7
Respuestas a la autoevaluaciÓn
MANEJO DE LA CALCULADORA
4.8: Cambio de base
Figura 4.4
DefiniciÓn 1: Matriz de transición
Teorema 1
DemostraciÓn
Teorema 2
DemostraciÓn
EJEMPLO 1: Expresión de vectores en en términos de una nueva base
EJEMPLO 2: Expresión de polinomios en P2 en términos de una nueva base
EJEMPLO 3: Conversión de una base a otra en
Teorema 3
DemostraciÓn
EJEMPLO 4: Determinación de si tres polinomios en P2 son linealmente dependientes o independientes
EJEMPLO 5: Determinación de si cuatro matrices de 2 × 2 son linealmente dependientes o independientes
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias 4.8
Respuestas a la autoevaluaciÓn
4.9: Bases ortonormales
DefiniciÓn 1: Conjunto ortonormal en
DefiniciÓn 2: Longitud o norma de un vector
EJEMPLO 1: La norma de un vector en
EJEMPLO 2: La norma de un vector en
EJEMPLO 3: La norma de un vector en
Teorema 1
DemostraciÓn
Teorema 2: Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
DemostraciÓn
Figura 4.5
EJEMPLO 4: Construcción de una base ortonormal en
EJEMPLO 5: Una base ortonormal para un subespacio de
Figura 4.6
DefiniciÓn 3: Matriz ortogonal
Teorema 3
DemostraciÓn
EJEMPLO 6: Una matriz ortogonal
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias 4.9
Respuestas a la autoevaluaciÓn
4.10: Espacios con producto interno
DefiniciÓn 1: Espacio con producto interno
EJEMPLO 1: Un producto interno en
EJEMPLO 2: Un producto interno en
EJEMPLO 3: Producto interno de dos vectores en
EJEMPLO 4: Un producto interno en C[a, b]
EJEMPLO 5: El producto interno de dos funciones en C[0, 1]
DefiniciÓn 2
EJEMPLO 6: Dos vectores ortogonales en
EJEMPLO 7: Dos funciones ortogonales en C[0, 2π]
DefiniciÓn 3: Conjunto ortonormal
Teorema 1
Teorema 2
EJEMPLO 8: Una base ortonormal P2[0, 1]
EJEMPLO 9: Un conjunto ortonormal infinito C[0, 2π]
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias 4.10
Resumen
COMPETENCIAS FINALES. UNIDAD 4
Unidad 5: TRANSFORMACIONES LINEALES
Competencia especÍfica a desarrollar
5.1: DefiniciÓn y ejemplos
EJEMPLO 1: Reflexión respecto al eje x
Figura 5.1
EJEMPLO 2: Transformación de un vector de producción en un vector de materia prima
DefiniciÓn 1: Transformación lineal
Tres observaciones sobre notaciÓn
EJEMPLO 3: Una transformación lineal de en
EJEMPLO 4: La transformación cero
EJEMPLO 5: La transformación identidad
EJEMPLO 6: Transformación de reflexión
Figura 5.2
EJEMPLO 7: Transformación de dada por la multiplicación por una matriz de m × n
EJEMPLO 8: Transformación de rotación
Figura 5.3
EJEMPLO 9: Transformación de proyección ortogonal
EJEMPLO 10: Dos operadores de proyección
Figura 5.4
EJEMPLO 11: Operador de transposición
EJEMPLO 12: Operador integral
EJEMPLO 13: Operador diferencial
ADVERTENCIA
EJEMPLO 14: Una transformación que no es lineal
AutoevaluaciÓn
Falso-verdadero
Desarrollo de competencias 5.1
Respuestas a la autoevaluaciÓn
5.2: Propiedades de las transformaciones lineales :imagen y nÚcleo
Teorema 1
DemostraciÓn
Teorema 2
DemostraciÓn
EJEMPLO 1: Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector
Teorema 3
DemostraciÓn
EJEMPLO 2: Definición de una transformación lineal de en un subespacio de
DefiniciÓn 1: Núcleo e imagen de una transformación lineal
Imagen
Teorema 4
DemostraciÓn
EJEMPLO 3: Núcleo e imagen de la transformación cero
EJEMPLO 4: Núcleo e imagen de la transformación identidad
EJEMPLO 5: Núcleo e imagen de un operador de proyección
DefiniciÓn 2: Nulidad y rango de una transformación lineal
EJEMPLO 6: Núcleo e imagen de un operador traspuesto
EJEMPLO 7: Núcleo e imagen de una transformación de P3 en P2
EJEMPLO 8: Núcleo e imagen de un operador integral
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias 5.2
Respuestas a la autoevaluaciÓn
5.3: RepresentaciÓn matricial de una transformaciÓn lineal
Teorema 1
DemostraciÓn
DefiniciÓn 1: Matriz de transformación
Teorema 2
EJEMPLO 1: Representación matricial de una transformación de proyección
EJEMPLO 2: Representación matricial de una transformación de en
EJEMPLO 3: Representación matricial de una transformación de en
EJEMPLO 4: Representación matricial de una transformación cero
EJEMPLO 5: Representación matricial de una transformación cero
Teorema 3
DemostraciÓn
Teorema 4
EJEMPLO 6: Representación matricial de una transformación de P2 en P3
EJEMPLO 7: Representación matricial de una transformación de P3 en P2
EJEMPLO 8: Representación matricial relativa a dos bases no estándar en
EJEMPLO 9: La representación matricial de una transformación lineal respecto a dos bases no estándar en puede ser diagonal
Teorema 5
GeometrÍa de las transformaciones lineales de en
Expansiones a lo largo de los ejes x o y
Figura 5.5
CompresiÓn a lo largo de los ejes x o y
Figura 5.6
Reflexiones
Figura 5.7
Cortes
Figura 5.8
Figura 5.9
Tabla 5.1: Transformaciones lineales especiales de en
Tabla 5.2: Matrices elementales en
Teorema 6
DemostraciÓn
Teorema 7
EJEMPLO 10: Descomposición de una transformación lineal en en una sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones
Figura 5.10
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias 5.3
Respuestas a la autoevaluaciÓn
Resumen
COMPETENCIAS FINALES. UNIDAD 5
Back Matter
Apéndice A: VALORES CARACTERÍSTICOS, VECTORES CARACTERÍSTICOS Y FORMAS CANÓNICAS
A.1: Valores caracterÍsticos y vectores caracterÍsticos
DefiniciÓn 1: Valor característico y vector característico
EJEMPLO 1: Valores característicos y vectores característicos de una matriz de 2 × 2
EJEMPLO 2: Valores característicos y vectores característicos de la matriz identidad
Teorema 1
DefiniciÓn 2: Ecuación y polinomio característicos
Teorema 2
DemostraciÓn
DefiniciÓn 3: Espacio característico
Teorema 3
DemostraciÓn
Multiplicidadalgebraica
Procedimiento para calcular valores característicos y vectores característicos
EJEMPLO 3: Cálculo de valores y vectores característicos
EJEMPLO 4: Una matriz de 3 × 3 con valores característicos distintos
EJEMPLO 5: Una matriz de 2 × 2 con uno de sus valores característicos iguales a cero
EJEMPLO 6: Una matriz de 2 × 2 con valores característicos conjugados complejos
Teorema 4
DemostraciÓn
EJEMPLO 7: Valores característicos de una matriz triangular
EJEMPLO 8: Una matriz de 2 × 2 con un valor característico y dos vectores característicos linealmente independientes
EJEMPLO 9: Una matriz de 2 × 2 con un valor característico y sólo un vector característico independiente
EJEMPLO 10: Una matriz de 3 × 3 con dos valores característicos y tres vectores característicos linealmente independientes
EJEMPLO 11: Una matriz de 3 × 3 con un valor característico y sólo un vector característico linealmente independiente
EJEMPLO 12: Una matriz de 3 × 3 con un valor característico y dos vectores característicos linealmente independientes
DefiniciÓn 4: Multiplicidad geométrica
Teorema 5
Teorema 6
Teorema 7: Teorema de resumen (punto de vista 7)
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias A.1
MANEJO DE LA CALCULADORA
Respuestas a la autoevaluaciÓn
A.2: Matrices semejantes y diagonalizaciÓn
DefiniciÓn 1: Matrices semejantes
TransformaciÓn de semejanza
Definición alternativa de semejanza
EJEMPLO 1: Dos matrices semejantes
EJEMPLO 2: Una matriz semejante a una matriz diagonal
Teorema 1
DemostraciÓn
EJEMPLO 3: Los valores característicos de matrices semejantes son los mismos
DefiniciÓn 2: Matriz diagonalizable
Teorema 2
DemostraciÓn
Corolario
EJEMPLO 4: Diagonalización de una matriz de 2 × 2
EJEMPLO 5: Diagonalización de una matriz de 3 × 3 con tres valores característicos distintos
EJEMPLO 6: Diagonalización de una matriz de 3 × 3 con dos valores característicos distintos y tres vectores característicos linealmente independientes
EJEMPLO 7: Una matriz de 2 × 2 con sólo un vector característico linealmente independiente que no se puede diagonalizar
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias A.2
Respuestas a la autoevaluaciÓn
A.3: Formas cuadrÁticas y secciones cÓnicas
DefiniciÓn 1: Ecuación cuadrática y forma cuadrática
EJEMPLO 1: Expresión de una forma cuadrática en las nuevas variables x′ y y′ sin el término x′ y′
Teorema 1: Teorema de los ejes principales en
EJEMPLO 2: Identificación de una hipérbola
Figura A.1
EJEMPLO 3: Una elipse
Figura A.2
EJEMPLO 4: Una sección cónica degenerada
EJEMPLO 5: Una elipsoide
Figura A.3
DefiniciÓn 2: Forma cuadrática
EJEMPLO 6: Una forma cuadrática en cuatro variables
EJEMPLO 7: Una matriz simétrica que corresponde a una forma cuadrática en cuatro variables
AutoevaluaciÓn
Desarrollo de competencias A.3
Respuestas a la autoevaluaciÓn
Respuestas: A PROBLEMAS IMPARES
Unidad 1
Unidad 2
Problemas 2.2
Problemas 2.3
Problemas 2.4
Ejercicios de repaso de la unidad 2
Unidad 3
Problemas 3.1
Problemas 3.2
Problemas 3.3
Problemas 3.4
Problemas 3.5
Problemas 3.6
Problemas 3.7
Problemas 3.8
Problemas 3.9
Problemas 3.10
Problemas 3.11
Ejercicios de repaso de la unidad 3
Unidad 4
Problemas 4.2
Problemas 4.3
Problemas 4.4
Problemas 4.5
Problemas 4.6
Problemas 4.7
Problemas 4.8
Problemas 4.9
Problemas 4.10
Ejercicios de repaso de la unidad 4
Unidad 5
Problemas 5.1
Problemas 5.2
Problemas 5.3
Ejercicios de repaso de la unidad 5
ApÉndice A
Problemas A.1
Problemas A.2
Problemas A.3
ÍNDICE ANALÍTICO
Valoraciones
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